Integración de contorno de $\sin(x)/(x+x^3)$

Question

Cómo debo calcular esta integral

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x(1+x^2)}\,dx\quad?$$

He probado formando un semicírculo con sangría en el plano complejo medio superior usando el teorema del residuo y he intentado integrar a lo largo de una curva que circundó el plano complejo y en un círculo el eje real positivo (ya que el integrando es par). Nada ha funcionado hacia fuera para mí. Por favor ayuda!

Answer 1

$$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x(1+x^2)} \mathrm dx = \int_ {-\infty} ^ \infty\frac {\Im\mathrm e ^ dx de \mathrm {\mathrm ix}}{x(1+x^2)} = \int_ {-\infty} ^ \infty\frac {\Im\left (\mathrm e ^ {\mathrm ix}-1\right)}{x(1+x^2)} \mathrm dx = \Im\int_ {-\infty} ^ \infty\frac {\mathrm e ^ {\mathrm ix}-1}{x(1+x^2)} \mathrm dx\;. $$

Answer 2

La definición de

$$\gamma_M:=\{z\in\Bbb C\;;\;z=Me^{it}\;,\;0\le t\le\pi\}\;,\;\;M\in (0,\infty),$$

y

$$f(z):=\frac{e^{iz}}{z(z^2+1)}\;,\;\;C_R:=[-R,-\epsilon]\cup\gamma_\epsilon\cup[\epsilon,R]\cup\gamma_R\;,\;\;0<\epsilon<<R$$

Tenemos que, como el único polo de $\,f\,$ dentro de la región limitada por $\,C_R\,$$\,z=i\,$ , que

$$\oint\limits_{C_R}f(z)\,dz=2\pi i\,Res_{z=i}(f)$$

Ahora:

$$Res_{z=i}(f)=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)=\frac{e^{i^2}}{i(2i)}=-\frac{e^{-1}}{2}$$

$$Res_{z=0}(f)=\lim_{z\to 0}zf(z)=\frac{e^0}{1}=1$$

Así, utilizando el corolario del lema en la primera respuesta aquí, y teniendo en cuenta que integramos en la dirección negativa en $\,\gamma_\epsilon\,$ , obtenemos:

$$\frac{\pi i}{e}=\int\limits_{C_R}f(z)\,dz=\int\limits_{-R}^{-\epsilon}f(x)dx+\int\limits_{\gamma_\epsilon}f(z)\,dz+\int\limits_\epsilon^Rf(x)\,dz+\int\limits_{\gamma_R}f(z)\,dz\xrightarrow[\stackrel{\epsilon\to\ 0}{R\to\infty}]{}$$

$$\xrightarrow[\stackrel{\epsilon\to\ 0}{R\to\infty}]{}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,dx-\pi i\Longrightarrow$$

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x(x^2+1)}dx=\pi i\left(1-\frac{1}{e}\right)\iff$$

y la comparación de las partes reales e imaginarias en ambos lados obtenemos

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x(x^2+1)}dx=\pi\frac{e-1}{e}$$

Nota: puede utilizar Jordania Lema o evaluar directamente por Cauchy para obtener

$$\int\limits_{C_R}f(z)\,dz\xrightarrow[R\to\infty]{}0$$

Answer 3

$$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(x)}{x(1+x^2)}\,\mathrm{d}x &=\mathrm{Im}\left(\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x(1+x^2)}\,\mathrm{d}x\right)\\ &=\mathrm{Im}\left(\int_\gamma\frac{e^{iz}}{z(1+z^2)}\,\mathrm{d}z\right)\\ \end{align} $$ donde $\gamma$ $(1/R,0)$ $(R,0)$círculos hacia la izquierda de$(R,0)$$(-R,0)$$(-R,0)$%#%, entonces los círculos a la derecha de $(-1/R,0)$$(-1/R,0)$.

La integral en el plano de las piezas da la integral que usted está buscando.

Utilizamos el contorno a través de la mitad superior del plano-puesto que el integrando se desvanece rápidamente de allí. Es decir, la integral a lo largo de la gran semicírculo es $(1/R,0)$.

El residuo de a $0$$z=0$, por lo que la integral a lo largo de la pequeño-medio círculo es $1$.

El residuo de a $-\pi i$$z=i$, por Lo tanto, la integral a lo largo de todo el contorno de la es $\frac{e^{-1}}{i(i+i)}=-\frac1{2e}$.

Por lo tanto, la integral a lo largo de las dos piezas planas es $-\frac{\pi i}{e}$. Por lo tanto, $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(x)}{x(1+x^2)}\,\mathrm{d}x=\pi\frac{e-1}{e} $$