He leído desde la escuela que facturización es única, pero nunca han encontrado pruebas para esto. ¿Alguien me puede mostrar la prueba?
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David HAust
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A continuación directa de primaria de la prueba del Teorema Fundamental de la Aritmética a partir de primeros principios, basado en ideas de volver a Zermelo (1901).
TEOREMA $\ $ Cada natural $\rm\:n \ge 1\:$ tiene una factorización en primos, único hasta el orden de los factores.
Prueba de $\ \ $ Por inducción sobre $\rm\:n. $ $\rm\:n = 1\:$ es un vacío producto de números primos. Deje $\rm\:n>1\:.\:$ Supongamos que el teorema es verdadero para todos los naturales de $\rm < n.\:$ Deje $\rm\:p\:$ ser el mínimo factor de $\ne 1\:$ de $\rm\:n.$ $\rm\:p\:$ no tiene factores de menor tamaño $\rm\:q\ne 1,\:$ else $\rm\:q\:|\:p\:|\:n,\:$ contra leastness de $\rm\:p.\:$ $\rm\:p\:$ es primo. Por inducción $\rm\:n/p\:$ tiene una única factorización prima que, anexa a $\rm\:p,\:$ produce una descomposición en factores primos de a $\rm\:n.\:$ Nos muestran única.
Considere la posibilidad de una segunda factorización prima de $\rm\:n.\:$ tiene al menos un primer $\rm\:q\:$ desde $\rm\:n > 1\:.\:$ por lo tanto $\rm\ n = q\ q_2\cdots\:q_k = q\:Q\ $ $\rm\: q_i\:$ números primos. Si $\rm\:p\:$ es igual a uno de los $\rm\:q$'s, a continuación, eliminar $\rm\:p\:$ a partir de la segunda factorización debe salir dijo único de la factorización de $\rm\:n/p\:.\:$, por Lo tanto, factorizations de $\rm\:n\:$ son de la misma hasta el fin. Por lo tanto, si $\rm\:p = q\:$, a continuación, la prueba está completa.
De lo contrario, es suficiente para mostrar $\rm\:p\:$ es igual a uno de los $\rm\:q_i.\:$ Por leastness de $\rm\:p,\:$ $\rm\ p\ne q\ \Rightarrow\ p < q\:,\:$ por lo $\rm\ \bar n\: =\: n - p\:Q\: =\: (q - p)\:Q\ $ es $\rm\ 0 < \bar n < n\:.\: $ $\rm\:p\:|\:n\ \Rightarrow\ p\:|\:\bar n,\:$ así que por inducción $\rm\ \bar n/p\ $ tiene una factorización prima que, anexa a $\rm\:p,\:$ da una descomposición en factores primos de a $\rm\:\bar n\:.\:$ Por inducción $\rm\:q-p\:$ tiene una factorización prima que, anexa a $\rm\:Q = q_2\cdots q_k$ es una segunda factorización de $\rm\:\bar n.\:$ Por inducción tanto factorizations de $\rm\:\bar n\:$ son iguales hasta el fin, lo $\rm\:p\:$ se produce en dicha factorización de $\rm\:(q-p)\:Q,\:$ pero no en el de $\rm\:q -p\:,\:$ más $\rm\:p\ |\ q-p\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:p\:|\:q\:,\:$ contra $\rm p\ne q\:.$ $\rm\:p\:$ debe ocurrir en la factorización de la $\rm\:Q = q_2\cdots\:q_k.\:$ por lo tanto, de hecho, $\rm\:p\:$ es igual a uno de los $\rm\:q_i.\ \ $ QED
Lorin Hochstein
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Definición. Un entero $p$ es un primer si y sólo si $p\neq \pm 1$, $p\neq 0$, y, siempre que $p|ab$, $p|a$ o $p|b$.
Definición. Un entero $n$ es irreducible si y sólo si $n\neq \pm 1$ y, si $n=ab$ $a$ $b$ enteros, entonces cualquiera de las $a=\pm 1$ o $b\pm 1$.
Lema. Si $a$ $b$ son enteros, entonces $a$ $b$ tiene un máximo común divisor que puede ser escrito como $\alpha a + \beta b$ para algunos enteros $\alpha$$\beta$.
Prueba. Consideremos el conjunto a $I=\{\alpha a + \beta b \mid \alpha,\beta\in\mathbb{Z}\}$. Si este conjunto es igual a $\{0\}$, luego $a=b=0$, $\gcd(0,0)=0$, y podemos tomar $\alpha=\beta=1$. Si el conjunto no es igual a $0$, a continuación, contiene un positivo más pequeño miembro de la $d$; si $n$ es cualquier elemento del conjunto, luego dividiendo $n$ $d$ con el resto tenemos $n = qd + r$, $0\leq r \lt d$. Pero $qd\in I$, y si $n$ $qd$ están en $I$, entonces también lo es $n-qd$; por lo tanto $r\in I$; por minimality de $d$, llegamos a la conclusión de que $r=0$, lo $n$ es un múltiplo de a $d$. Es decir, $I$ es exactamente todos los múltiplos de $d$. Desde $a,b\in I$,$d|a$$d|b$; si $c$ es cualquier entero que divide tanto a a$a$$b$, $c$ divide cada elemento de a $I$, por lo tanto se divide $d$. Por lo tanto, $d$ es un mcd de a $a$ y $b$. $\Box$
Lema. Si $n$ es irreductible, a continuación, para cada entero$a$, $\gcd(n,a) = n$ o $\gcd(n,a)=1$.
Prueba. Deje $d=\gcd(n,a)$. A continuación,$d|n$, por lo tanto $n=dm$ para algunos entero $m$; desde $n$ es irreductible, $d=\pm 1$ o más $m=\pm 1$ (en cuyo caso $d=\pm n$). $\Box$
Teorema. (Euclides del Lema) Irreductible enteros son el primer y el primer enteros son irreductibles.
Prueba. Suponga $p$ es primo, y $p=ab$. A continuación,$p|ab$, por lo tanto $p|a$ o $p|b$; si $p|a$, entonces podemos escribir $a=pr$, lo $p=ab = prb$; desde $p\neq 0$, obtenemos $rb=1$, por lo tanto $b=\pm 1$; simétricamente, si $p|b$,$b=ps$, lo $p=ab=asp$ y llegamos a la conclusión de $as=1$ $a=\pm 1$. Por lo tanto, si $p$ es primo, entonces $p$ es irreductible.
Supongamos ahora que $p$ es irreductible; a continuación, tenga en cuenta que $p\neq 0$, ya que el $0=0\times 2$ ni $0$ ni $2$ son igual a $1$ o $-1$. Supongamos ahora que $p|ab$; debemos demostrar que $p|a$ o que $p|b$.
Desde $p$ es irreductible,$\gcd(p,a)=p$, en cuyo caso $p|a$ y hemos terminado, o bien $\gcd(p,a)=1$; entonces podemos escribir $1=\alpha a + \beta p$; multiplicando por $b$ obtenemos $b = \alpha ab + \beta b p$. Desde $p|ab$,$p|(\alpha ab+\beta bp) = b$, por lo que $p|b$. $\Box$
La prueba usual de que factorizations existe es por la fuerte inducción:
Teorema. (Euclides) Para cada entero positivo $n$ si $n\gt 1$, $n$ se puede escribir como un producto de números primos.
Prueba. Asumir que cada número estrictamente menor que $n$ es igual a $1$, o se puede escribir como un producto de números primos. Hemos de probar que la misma tiene para $n$. Si $n=1$, hemos terminado. Si $n$ es primo, entonces podemos expresar $n$$n=n$, un producto de números primos, y hemos terminado. Si $n$ no es primo, entonces no es irreducible, así que podemos escribir $n=ab$ $a$ $b$ enteros, ni igual a $1$; desde $n\gt 0$, podemos (cambio de signo si es necesario) suponga que $a$ $b$ son positivos, por lo tanto $1\lt a \lt n$$1\lt b \lt n$. Por la hipótesis de inducción, tanto en $a$ $b$ puede ser escrito como el producto de números primos, $a= p_1\cdots p_r$$b=q_1\cdots q_s$; por lo tanto, $n = ab = p_1\cdots p_rq_1\cdots q_s$, lo $n$ se puede escribir como un producto de números primos. Esto demuestra el resultado para todos los enteros positivos, por inducción. $\Box$
La clave de la singularidad es la de Euclides el Lema:
Teorema. (Gauss) La factorización de números enteros positivos en los números primos es única. Es decir, si $x$ es un entero positivo, $x\gt 1$, y $$x = p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r} = q_1^{b_1}\cdots q_s^{b_s}$$ donde $p_1\lt\cdots\lt p_r$, $q_1\lt\cdots\lt q_s$ son los números primos y los $a_i,b_j$ son enteros positivos para todos los $i$$j$, luego $r=s$, $p_i=q_i$, y $a_i=b_i$ todos los $i$.
Prueba. Podemos suponer que la $a_1+\cdots+a_r\leq b_1+\cdots +b_s$ mediante el intercambio de los dos factorizations si es necesario. Procedemos por inducción sobre $n=a_1+\cdots+a_r$.
Si $n=1$, $x=p_1$ es un excelente; por lo tanto, $p_1 = q_1^{b_1}\cdots q_s^{b_s}$. Puesto que los números primos son irreductibles, todos los factores en $q_1^{b_1}\cdots q_s^{b_s}$ excepto uno debe ser igual a $1$ o $-1$; ya que todos los factores son primos, $s=1$$b_1=1$. Por lo tanto, hemos singularidad.
Suponga que el resultado vale si $n=k$, y que la factorización de $x$ $k+1$ factores.
Desde $p_1|x$,$p_1|q_1^{b_1}\cdots q_s^{b_s}$. Desde $p_1$ es primo, se divide algunos $q_j$, $p_1|q_j$. Desde $q_j$ es primo, es irreductible, por lo que debemos tener $p_1=q_j$. La cancelación de $p_1$ $q_j$ a partir de $$x = p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r} = q_1^{b_1}\cdots q_s^{b_s}$$ obtenemos $$y = p_1^{a_1-1}\cdots p_r^{a_r} = q_1^{b_1}\cdots q_{j-1}^{b_{j-1}}q_j^{b_j-1}q_{j+1}^{b_{j+1}}\cdots q_s^{b_s}.$$ El número de factores primos de a$y$$n$; por la hipótesis de inducción, los dos restantes factorizations son idénticos.
Me dicen que no tienen exactamente uno de $a_1$ $b_j$ igual a $1$.
Si $a_1\gt 1$$b_j=1$, entonces, por la hipótesis de inducción nos ha $j\gt 1$, en cuyo caso $q_1=p_1$, lo que contradice $p_1=q_1\lt q_j=p_1$; o $j=1$, en cuyo caso tendríamos de nuevo la contradicción de que la igualdad de los dos factorizations para $y$ dar $p_1 = q_2\gt q_1 = p_1$.
Si $a_1=1$$b_j\gt 1$, entonces cualquiera de las $j\gt 1$, en cuyo caso obtenemos una contradicción que $p_1 = q_j \gt q_1 = p_2 \gt p_1$; o $j=1$, en cuyo caso obtenemos una contradicción que $p_1\lt p_2 = q_1 = p_1$.
Por lo tanto, cualquiera de las $a_1=b_j=1$ o más $a_1\gt 1$, $b_j\gt 1$.
Si $a_1\gt 1$, $b_j\gt 1$, a continuación, ya que ambos factorizations para $y$ son idénticas, $p_1=q_1$, por lo que $j=1$; $r=s$, $p_i=q_i$ para $i=1,\ldots,r$, $a_i=b_i$ para $i=2,\ldots,r$; y $a_1-1=b_1-1$, por lo tanto $a_1=b_1$, por lo que los dos factorizations de $x$ son idénticas.
Si $a_1=b_j=1$, ya que ambos factorizations de $y$ son idénticas, si $j\gt 1$ tenemos $p_2 = q_1\lt q_j = p_1 \lt p_2$; esto es imposible, así que $j=1$, y por lo $r-1=s-1$ (para $r=s$), $p_i=q_i$ para $i=2,\ldots,r$ (y ya lo tenemos $p_1=q_1$); $a_j=b_j$ para $j=2,\ldots,r$, y también tenemos $a_1=b_1=1$. Así que los dos factorizations para $x$ son idénticas. $\Box$
David HAust
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Aquí es un simple auto-contenido conceptual de la prueba de la unicidad de primer factorizations de los números enteros. $\:$ Emplea Euclides del Lema a demostrar que si un primo divide a un producto, a continuación, divide a algún factor. Prueba de Euclides de la Lexema mediante la explotación de la estructura de un conjunto de posibles denominador de una fracción: es cerrado bajo la resta, por tanto es cerrado bajo dpc. Por lo tanto, una fracción representable con coprime denominadores $\rm\:p,q\:$ es representable con denominador $\rm\:gcd(p,q)= 1,\:$, por lo que es un número entero. Para más información sobre la innata estructura algebraica ver mis posts en el denominador ideales.)
Teorema $\ $ Primer factorizations de un entero $\rm\:n>1\:$ son únicos hasta el fin.
Prueba de $\ $ Supongamos $\rm\:n\:$ tiene la primera factorizations $\rm\:p\: p_2\cdots p_j = q\:q_2\cdots q_k.$ $\rm\:j,k \ge 1\:$ $\rm\:n > 1.\:$ Inductivamente la aplicación de Euclides del Lema (por debajo) de los rendimientos que $\rm\:p\:$ divide una de las $\rm\:q$'s decir $\rm\:p\ |\ q,\:$ $\rm\:p = q.\:$ Cancelar $\rm\:p\:$ tanto factorizations rendimientos factorizations de $\rm n/p.\:$ Por inducción, que son únicos hasta el fin. Por lo tanto también lo son los de arriba factorizations, obtenido añadiendo $\rm\:p.\ \ $ QED
Euclides del Lexema $\rm\ \ a,b\:$ coprime, $\rm\ a\: |\: b\:c\ \Rightarrow\ a\: |\: c\ \: $ para todos los productos naturales $\rm\: a,b,c > 0\:.$
Prueba de $\ $ algunos $\rm\: d \in \mathbb N,\ a\:d\: =\: b\:c\: \Rightarrow\: \dfrac{c}a \: =\: \dfrac{d}b.\:$ por Debajo del Teorema $\rm\Rightarrow\: \dfrac{c}a\in\mathbb Z\ \ \ $ QED
Teorema $\ \:$ Si el número racional $\rm\ r\: =\: \dfrac{c}a\: =\: \dfrac{d}b\ $ para coprime $\rm\:a, b\in \mathbb N\:$ $\rm\: r\:$ es un número entero.
Prueba de $\ $ Por la simetría de las hipótesis, se puede suponer, la notación es elegido para $\rm\: b \ge a\:.\ $ en Primer lugar, hemos de probar que si $\rm\ b > a\ $, entonces hay una representación de $\rm\:r\:$ con menor valor de $\rm\:b\:.\:$ Vista de las fracciones como vectores $\rm\:(a,c),\ (b,d)\:$ de pendiente $\rm\:r.\:$ Restando el menor vector desde el más grande del vector podemos deducir que $\rm\ r\: =\: \dfrac{c}a\: =\: \dfrac{d-c}{b-a}.\ \:.\phantom{\dfrac{.}{\dfrac{.}.}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\phantom{\dfrac{\dfrac{.}.}{.}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!$ es menor ya que tanto $\rm\:a,\: b-a < b,\:$ $\rm a,\:b-a\:$ son coprime: $\rm\: c\ |\ a,b\!-\!a\: \Rightarrow\: c\ |\ a+(b\!-\!a) = b\: \Rightarrow\: c\: |\: a,b\:$ $\rm\: c\: |\: 1\: $ $\rm\:a,b\:$ coprime.
De todas las representaciones de $\rm\:r\:$ la satisfacción de las hipótesis, considerar uno con el menor valor de $\rm\:b\:.\:$ Necesariamente, $\rm\ b\: =\: a\ $ ($\rm\:b > a,\:$ así, por encima, hay una representación con menor valor de $\rm\:b$). Por lo tanto, $\rm\ a,b\: =\: a,a\ $ coprime $\rm\:\Rightarrow\ a = 1\:.\:$ por lo tanto $\rm\ r\: =\: c/a\: =\: c/1\: =\: c\:$ es un número entero. $\ $ QED
