Identidades trigonométricas y números complejos. Me ' he oído esta pregunta es fácil, pero yo don ' t sabe cómo. ¿Ayuda?

Question

Utilizando igualmente la regla $a + bi = c + di$ las identidades trigonometricas como puedo hacer para...

$$\cos^3(\theta) - 3\sin ^ 2 (\theta) \ \cos(\theta) + 3i\ \sin (\theta) \ \cos^2(\theta) - i\ \sin^3(\theta) = \cos(3\theta) + i\ \sin(3\theta)$ $

Al parecer es fácil, pero no veo qué identidades trigonométricas para sustituir por favor ayuda!

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(\cos(t)+i\sin(t))^n=(\cos(nt)+i\sin(nt)),~~n\in\mathbb Z$$ and $(a+b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3, ~ ~ ~(a-b) ^ 3 = a ^ 3-3a ^ 2b + 3ab ^ 2-b ^ 3$.

Answer 2

Usar el hecho de que

$$\cos{(n x)} + i \sin{( n x)} = (\cos{x} + i \sin{x})^n$$

Le interesa el caso $n=3$. Ampliar el binomio y equiparar las partes real e imaginarias.

Answer 3

De la redacción, parece que se le pide a resolver el problema sin el uso del Teorema de DeMoivre!

Entonces usted necesita información acerca de $\cos 3x$ $\sin 3x$ a partir de otra fuente. Por suerte, usted probablemente tiene todas las herramientas necesarias.

Para $\cos 3x$, escribe como $\cos(2x+x)$, y el uso de la costumbre coseno de una suma de reglas. Llegamos $\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x$. El uso de la doble ángulo de identidades, a continuación, obtener $(\cos^2 x-\sin^2 x)\cos x-2\sin^2 x\cos x$. He utilizado la regla de $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ porque encaja muy bien con lo que se le pide que demuestre.

Llegamos a la conclusión de que $\cos 3x=\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x$.

Usted necesitará información similar acerca de las $\sin 3x$. Ser guiados por el resultado final que usted está buscando. Pero comenzar con $\sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x \cos x+\cos 2x\sin x$. Por supuesto, usted utilizará $\sin 2x=2\sin x\cos x$, y una identidad apropiada para $\cos 2x$.

Answer 4

Utilizar ecuaciones trigonométricas que simplemente luego resolverlo usando álgebra.

Answer 5

$(\cos x+i\sin x)^3=(\cos 3x+i\sin 3x)$(by De Moivre's theorem)

$(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3x+i^3\sin^3x+3\cos x i \sin x(\cos x+i\sin x)=\cos^3 x-i\sin^3x+3i\cos^2 x\sin x-3\cos x\sin^2x=\cos^3x+i^3\sin^3x+3\cos x i \sin x(\cos x+i\sin x)=\cos^3 x-i\sin^3x+3i(1-\sin^2x) \sin x-3\cos x(1-\cos^2 x)=4\cos ^3x-3\cos x+i(3\sin x-4\sin^3x)$

Ahora por comparación tenemos, $\cos 3x=4\cos ^3x-3\cos x$ y $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$