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¿Cuál es la probabilidad de que adivines el número en el que estoy pensando?

La probabilidad se define como el número probable de resultados sobre el total de resultados. En este caso, 1 sobre infinito; lo que equivaldría a cero. Pero, existe la posibilidad de que puedas adivinar el número en el que estoy pensando.

Además, ¿dependerá del número de aciertos que tengas? Supongamos que tienes 2 aciertos. ¿100 aciertos? ¿Infinitas suposiciones?

Estoy buscando cualquier idea en cuanto a la respuesta a este problema en absoluto. ¿Hay alguna forma de responder a esta pregunta?

Házmelo saber.

Gracias.

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Jim Petkus Puntos 3447

Para hablar de probabilidades, primero hay que definir un espacio de probabilidad que es un espacio de medidas $\Omega$ tal que $\mu(\Omega)=1$ . Los subconjuntos medibles de $\Omega$ son sus eventos.

Por ejemplo, si tiene que elegir un número en $\{1,2\}$ , se podría establecer $\Omega:=\{1,2\}$ y poner la medida de recuento en ella, dividida por $2$ . Hay cuatro eventos: $\emptyset$ (no eliges $1$ ni $2$ , $\{j\}$ (tú eliges $j$ ) y $\Omega$ (tú eliges $1$ o $2$ ). En este caso, la probabilidad de que adivine un número generado aleatoriamente en $\Omega$ es $1/2$ .

Volviendo a tu caso, el problema es definir una medida de probabilidad sobre $\mathbb{N}$ . Ya no se puede hacer eso con la medida de recuento: es decir, no se puede poner una probabilidad igual y distinta de cero a cada átomo $\{n\}$ que es lo que has hecho implícitamente. De hecho, la medida de $\mathbb{N}$ sería entonces $+\infty$ . Así que eso no sería un espacio de probabilidad.

Como yo elijo el número y soy un ser humano limitado, intuitivamente hay muchas posibilidades de que elija un número menor que, por ejemplo, $1000$ de los miles de millones de dólares. Así que un modelo más realista diría que el peso de $\{n\}$ debe tender a $0$ como $n$ tiende a $+\infty$ . Ahora bien, esto sigue dejando un montón de opciones, ya que poner una medida de probabilidad en $(\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}))$ equivale a elegir una serie convergente con término general no negativo y suma igual a $1$ . ¿Qué serie eliges?

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Chris Farmiloe Puntos 7769

Asumes que tu cerebro es un generador de números aleatorios uniforme, que claramente no lo es (porque es más probable que digas $3$ en lugar de $3.68394234918923483904582\ldots$ ). Su argumento de que la probabilidad es $0$ asume que el cerebro es.

Sin más conocimientos es imposible abordar la cuestión, e incluso con más conocimientos la cuestión no es ciertamente trivial. Habría que determinar una forma de ver qué números aleatorios generan los humanos con más frecuencia, y sus respuestas pueden variar mucho según a quién se le pregunte.

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Abdennour TOUMI Puntos 110

Elija un número entre $0$ y $1$ inclusive. ¿Cuál es la posibilidad de elegir $0$ ?

Bueno, la posibilidad de que elijas algo menos que $.5$ es $1/2$ . Asimismo, la posibilidad de que elijas algo menos que $.25$ es $1/4$ etc. Siguiendo esta lógica, la probabilidad de que elijas $0$ debe ser inferior a cualquier número positivo. Pero la probabilidad negativa no tiene sentido, así que la respuesta debe ser que la probabilidad de elegir $0$ es exactamente $0$ .

Se puede hacer un argumento similar y demostrar que la probabilidad de elegir cualquier número en el rango $[0,1]$ es exactamente $0$ .

Si miras más allá de $[0,1]$ y permitir escoger cualquier número real, la respuesta sigue siendo exactamente la misma por razones similares.

¿Y si eliges $n$ ¿números aleatorios? ¿Habría alguna diferencia? No. $n\times0 $ no hace que tus probabilidades sean mejores.

¿Y si eliges un número infinito de números? Resulta que cualquier lista $x_1, x_2, x_3, \ldots$ es, en cierto sentido, infinitamente menor que el conjunto de todos los números reales, o incluso el conjunto $[0,1]$ . Por ejemplo, podría empezar a enumerar todos los números racionales en $[0,1]$ :

$$0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\ldots$$

y eventualmente daría con cualquier valor racional menor a uno. Usted no puede Si haces una lista de todos los números reales de esta manera, siempre dejarás infinitos fuera de tu lista. Puede leer más sobre esto aquí.

La probabilidad de elegir un número de $[0,1]$ y obtener un número racional es $0$ y cualquier lista infinita está en correspondencia uno a uno con los números racionales. Debido a esto, se tiene $0$ probabilidad de elegir el número en cuestión incluso con una lista infinita de conjeturas .

¿Cómo puede ser que tengas $0$ ¿probabilidad de hacer algo que es claramente posible? Digamos que eliges un número $x$ al azar de $[0,1]$ . ¿Cómo pudo hacerlo si la posibilidad de elegir $x$ era cero para empezar? Resulta que esto no es incoherente, la probabilidad en espacios infinitos es simplemente contraintuitiva. Los matemáticos utilizan el término casi con toda seguridad para describir cosas que ocurren con probabilidad $1$ .

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half-integer fan Puntos 745

Sospecho que está recibiendo más de lo que pidió en algunas de las respuestas. La clave está en el tercer párrafo de la respuesta de @julien: para que la probabilidad de elegir cada número sea finita (mayor que cero, informalmente), las probabilidades deben distribuirse de forma que den una suma finita.

Por lo tanto, no se puede dar un peso "igual" a "cada" número, porque los pesos suman al infinito y no se pueden normalizar. Sin embargo, hay un montón de distribuciones que sí funcionan, y si estamos hablando de un humano real que elige un número, parece válido asumir que es poco probable que se elijan números muy grandes.

El ejemplo más sencillo sería ponderar los enteros para que tengan probabilidad $\frac1{2^n}$ . Por lo tanto, 1 tiene una probabilidad $\frac12$ de ser elegido, 2 tiene $\frac14$ y así sucesivamente; esto suma uno para la probabilidad total de que se elija un número entero positivo, pero cada número tiene una probabilidad finita.

Sólo para mostrar que hay otras posibilidades, podríamos decir que la probabilidad de elegir un número entero de d dígitos era $\frac9{10^d}$ , dando a los números de 1 dígito una probabilidad total del 90%, a los de 2 dígitos del 9%, a los de 3 dígitos del 9%, etc. Una vez más, la probabilidad total suma uno, pero las probabilidades individuales son todas finitas: 10% para cada uno de los números del 1 al 9, 0,1% para cada uno de los números del 10 al 99, etc.

Así pues, todo se reduce a la supuesta distribución de los números elegidos, que en última instancia depende de un modelo de pensamiento humano.

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