Supongamos que tenemos un espacio métrico en el que cada sistema abierto es expresable como una Unión contable de bolas. ¿Es este espacio necesariamente separables?
Gracias.
Respuesta
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Si el espacio tiene en la mayoría de los countably muchos puntos aislados, entonces la respuesta es sí. Para ver esto, argumentan de la siguiente manera. Para cada racional $r\gt 0$, vamos a $E_r$ ser una máxima subconjunto del espacio de pares distancia entre los puntos a menos $r$. Tal conjunto existe por el lema de Zorn. El complemento de $E_r$ está abierto, y por lo tanto es una contables de la unión de las bolas. Por el maximality de $E_r$, podemos suponer que todas estas bolas de radio en la mayoría de las $r$. Deje $D_r$ ser los centros de la elección de bolas, junto con los puntos aislados de a $E_r$. Tenga en cuenta que cada punto del espacio tiene distancia $r$ a un punto en $E_r$, el cual es aislado, o que está muy cerca de los puntos en el complemento de $E_r$, que está dentro de $r$ de un punto en $D_r$. Así que cada punto está dentro de $3r$ de un punto en $D_r$. De ello se desprende que $D=\bigcup_r D_r$ es una contables densa subconjunto del espacio, que por lo tanto es separable.
Si la hipótesis continua se mantiene, entonces la respuesta a la pregunta es sí. La razón es que, según el cap, el comentario de Srivatsan de abajo muestra que el espacio se puede tener en la mayoría de countably muchos puntos aislados. Para ver esto, supongamos que hay una cantidad no numerable de puntos aislados. Deje $S$ consta de $\omega_1$ muchos de ellos. Cada subconjunto de $S$ está abierto, y por lo tanto, por hipótesis es una contables de la unión de las bolas. Por lo tanto, cada subconjunto de $S$ está determinado por una contables subconjunto de $S$, los centros de las bolas, y los radios a ser utilizado para la bola en cada centro. Por lo tanto, tenemos un uno-a-uno de la función de $2^{\omega_1}$ a $(\omega_1\times\mathbb{R})^\omega$. Este último tiene un tamaño de continuo, y el ex conjunto tiene el tamaño de $2^{\omega_1}$, lo que, según el cap es mayor que el continuum, una contradicción. Por lo tanto, pueden ser en la mayoría de los countably muchos isoated puntos, por lo que el argumento en la parte superior establece una respuesta afirmativa a la pregunta, según el cap.
El argumento en realidad usa un poco menos de CH, y basta simplemente que $2^{\omega_1}$ es estrictamente mayor que el continuum, una hipótesis que se desprende de pero es bastante más débil que la de CH.
La actualización. Esta pregunta recientemente ocurrió en MathOverflow, y la necesidad de CH-tipo de suposición ha sido omitido. Ver mi respuesta allí, y también el argumento de Ashutosh, que específicamente se maneja el caso de una cantidad no numerable de puntos aislados.
Así, el pleno de la respuesta es sí, sin ningún tipo de cualificación. Si un espacio métrico tiene cada conjunto abierto se dio cuenta de como la contable de la unión de bolas, entonces es divisible.
