Resolver

Question

$x,y\in\mathbb{N}$ ¿Cuántos pares ordenados $\left(x,y\right)$ satisfacer $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{pq}$ donde $p,q$ son números primos distintos?

Answer 1

El "camino fácil" para hacer frente a $\frac 1x+\frac 1y=\frac 1N$ es claro fracciones para obtener $x=N+a, y=N+b$ $ab=N^2=p^2q^2$ y

$p^2q^2$ Tiene $(2+1)(2+1)$ factores así que debe haber 9 soluciones $a$ - de la cual se determina el $b$.

Answer 2

Vamos a empezar por escribir $x=au$, $y=av$ donde $a=\gcd(x,y)$. A continuación, $$ \frac{1}{pq}=\frac{1}{au}+\frac{1}{av}=\frac{u+v}{auv} \iff pq=uv\cdot\frac{a}{u+v} $$ donde debemos tener $u+v|a$ desde $u+v$ es coprime con tanto $u$$v$. Opciones para $(u,v)$ son entonces todas las combinaciones de $u,v\in\{1,p,q,pq\}$, de modo que $uv|pq$,$a=(u+v)\cdot pq/uv$. Así que, dado que distintos números primos $p$$q$, hay 9 opciones para $(x,y)$.

Yo en mi anterior solución, me las había arreglado para pasar por alto que la alternativa que $(u,v)$ ser $(pq,1)$ o $(1,pq)$, que se suman otras dos soluciones.