Deje $X$ ser suave, proyectiva y conectado curva a través de una algebraicamente cerrado de campo, y deje $\eta \rightarrow X$ ser su punto genérico (también llamada la inclusión como $\eta$). Quiero entender la prueba de la computación de la étale cohomology de $\Bbb G_{m, \eta}$$X$. La lectura de SGA 4.5, por P. Deligne, tengo apilados en el lema 3.3 de la sección "Cohomolgie des courbes". Dice lo siguiente:
$H^q(X_{ét}, \eta_* \Bbb G_{m, \eta})=0$ $q >0$.
En la prueba, se considere la secuencia exacta derivadas de la secuencia espectral dada por la functors $\eta_*: Ab(\eta_{ét}) \rightarrow Ab(X_{ét})$ $\Gamma(X_{ét}, -): Ab(X_{ét}) \rightarrow Ab$ (voy a denotar este functor como $\Gamma$), donde Ab(-) son las gavillas de abelian grupos. Más precisamente, se obtiene la secuencia exacta $$ 0 \rightarrow R^1\Gamma(\eta_* \Bbb G_{m, \eta}) \rightarrow R^1(\Gamma \circ \eta_*)(\Bbb G_{m, \eta}) \rightarrow \Gamma \circ R^1(\eta_* \Bbb G_{m, \eta}) \rightarrow \cdots.$$
Puesto que el $R^q(\eta_* \Bbb G_{m, \eta})$ son cero, obtenemos isomorphisms $H^q(X_{ét}, \eta_* \Bbb G_{m, \eta}) \cong R^q(\Gamma \circ \eta_*)(\Bbb G_{m, \eta})$.
Así que la pregunta es, ¿por qué $R^q(\Gamma \circ \eta_{*}) (\Bbb G_{m, \eta}) = H^q(\eta_{ét}, \Bbb G_{m, \eta})$? Una vez que esta igualdad establecido, un resultado anterior concluye la prueba.
