Pregunta de análisis complejo.

Question

Estoy teniendo un momento muy difícil responder la pregunta siguiente:

$f$ Es todo y $|f'(z)|\le e^{|z|}$ $f$ desaparece en el conjunto de $\{\frac{n}{\sqrt{1+|n|}}: n\in \mathbb{Z}\}$. ¿Por qué debe $f$ ser siempre cero?

Le agradeceria cualquier insinuación.

Answer 1

Lo solucioné. Consejos para aquellos de ustedes que estén interesados:

1) muestran que $|f'(z)|\le e^{|z|}$ implica que el $|f(z)|\lesssim e^{|z|}$ donde la constante implícita es independiente del $z$.

2) si $f$ no es cero, entonces, por un corolario Poisson-Jensen, sigue que $\sum \frac{1}{|{z_k}|^s}<\infty$ $s>1$ $z_k$ dónde están los ceros no cero de $f$.

Answer 2

Esta no es una respuesta, sólo quería post para ver si alguien cree que puede ir a cualquier parte y un comentario realmente no proporciona un buen formato para escribir en. Sólo recientemente he aprendido algunos conceptos básicos de análisis complejo y no la mente de los expertos señala los defectos en mi lógica.

Supongamos $f$ no se desvanezca en todas partes. Entonces por el teorema de los Residuos

$$\frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{f'(z) dz}{f(z)} \geq r^2$$ where $C$ is the circle of radius $r$, since we know a lower bound on how many zeros of $f(z)$ hay dentro de este círculo.

Esto implica que

$$ \int_C \left|\frac{f'(z)}{f(z)}\right| dz \geq 2 \pi r^2$$

Ahora quiero usar el hecho de $|f'(z)|$ es de orden $e^r$, por lo que el término dentro de la integral no puede ser demasiado grande. Que es la parte no estoy seguro acerca de. Parece probable porque los únicos ejemplos de cosas donde la derivada de una función es significativamente más grande que la función es para cosas como $e^{f(r)}$ donde $f'(r) > 1$.

Edit: se me acaba de ocurrir algo como $\sin(kt)$ $k$ se hace grande. Esto arroja el último párrafo de la ventana :(

Gracias