Representaciones de la suma directa de álgebras de Lie

Question

Estoy tratando de probar el siguiente. Deje $\frak{g}$ $\frak{h}$ (semisimple) álgebras de Lie. A continuación, cada representación $d$ $\frak{g}\oplus\frak{h}$ es el producto tensor de representaciones $d^1$$\frak{g}$$d^2$$\frak{h}$; es decir $d=d^1\otimes d^2$.

$d^1$ $d^2$ son no puede ser definido por la restricción (ver comentario abajo). No sé cómo definir para que su producto tensor debe dar la espalda a $d$. En particular, ¿cómo sé que el espacio vectorial $V$ $d$ se descompone de manera apropiada para que esto funcione?

Cualquier sugerencias sería muy apreciada!

Answer 1

Creo que te refieres a añadir que su representación es irreducible.

Esta afirmación es cierta para las representaciones de grupos de mentira compactos--vea Teorema 3.9 de Sepanski grupos de mentira compacto (lamentablemente no son las páginas relevantes de libros de google pero el libro es en springerlink si tienes acceso institucional). La prueba de esto se basa en el uso de caracteres. El resultado entonces sigue de álgebras de Lie simples semi ya que todos tienen formas reales compactas.

Answer 2

En el ejemplo siguiente se debe mostrar que esta afirmación es en realidad falso.

Deje $\mathfrak g$ $1$- dimensiones abelian Mentira álgebra. A continuación, $\mathfrak{g \oplus g}$ $2$- dimensiones abelian Mentira álgebra. El universal envolvente álgebra de $\mathfrak{g \oplus g}$ $k[x, y]$ donde $k$ es, independientemente del campo en el que le gustaría trabajar.

Ahora considere una $3$-dimensional $k[x, y]$-módulo donde dejamos que tanto $x$ $y$ actúan a través de un nilpotent Jordania bloque. Para que esto sea el producto tensor de dos representaciones tendrían que ser las dimensiones de $1$ $3$ pero ni $x$ ni $y$ act en diagonal, que es lo que debemos conseguir después de tensoring con un $1$-dimensiones de la representación.