¿Es posible tener un % de matriz real $n\times n$ $A$tal que $A^TA$ tiene un valor propio de $-1$?

Question

Pregunta: ¿Es posible tener un $n\times n$ real de la matriz $A$ tal que $A^TA$ tiene un autovalor de a $-1$?

Puedo demostrar que no es posible para $n=1,2$, pero no estoy seguro de que para el caso general.

Caso $n=1$: $a^2v=-v$ $\implies$ $(a^2+1)v=0$ $\implies$ $v=0$.

Caso $n=2$: Escriba $A=\begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix}$. A continuación, $A^T A=\begin{pmatrix}a^2+c^2&ab+cd\\ ab+cd&b^2+d^2\end{pmatrix}$, por lo que $$\begin{align} \det(A^TA+1) &= \begin{vmatrix}a^2+c^2+1&ab+cd\\ ab+cd&b^2+d^2+1\end{vmatrix}\\ Y= 1+a^2+b^2+c^2+d^2+(ad-bc)^2\\ &\neq 0. \end{align}$$ Ahora, podemos generalizar a todos los $n$?

Answer 1

Indirecta: $A^TA$ es positivo semidefinite.

Answer 2

No, no es posible.

Supongamos que $v$ es un autovector de a $A^TA$ asociado con autovalor $\lambda$. Entonces tenemos $$\langle^TAv, v \rangle = \langle \lambda v, v \rangle = \lambda \|v\|^2$$ Sin embargo, $$\langle^TAv, v \rangle = \langle Av,v \rangle = \|V\|^2$$ Por lo tanto, tenemos $$\lambda \|v\|^2 = \|V\|^2 \implica\\ \lambda = \frac{\|V\|^2}{\|v\|^2} \geq 0$$ Por lo tanto, los autovalores de a $A^TA$ son no-negativos.

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Si tenemos en cuenta la entrywise transpose (como opuesta a la conjugada transpuesta), entonces podemos encontrar una compleja matriz $A$. En particular, $$A = \pmatrix{i&0\\0&i} = iI$$ luego tenemos a $A^TA = A^2 = -I$ con autovalor $-1$.

Answer 3

Según la wiki, el $A^TA$ de la matriz es positivo definida para cualquier no-singular $A$. La prueba allí fácilmente se modifica para mostrar ese singular $A$ dé $A^TA$ positivo semi definida.

Answer 4

Puedes probar ver que $A^TA+I$ es invertible. Indirecta: si $(A^TA+I)x=0$, $x^T(A^TA+I)x$ en cuenta. Intente volver a escribirlo como una suma de cuadrados y deducir que $x=0$.

Answer 5

Supongo que $\lambda,$ necesariamente verdadero, es un valor propio de la matriz simétrica $A^\top A$ y $x \neq 0$ un vector propio. entonces $$A^\top A x = \lambda x \tag 1$$ multiplying by $x^\top$ on the left, we get $$\lambda x^\top x =x^\top A^\top Ax = (Ax)^\top Ax \implies\lambda = \frac{|Ax|^2}{|x|^2} \ge 0.$$