Que $G$ sea un abelian finito $p$-grupo con un único subgrupo $H$ % índice $p$. Es un hecho que $G$ es cíclico. Esto puede se deduce el teorema de clasificación de grupos finitos abelianos escribiendo $G$ como un producto de grupos cíclicos y teniendo en cuenta que $G$ no tiene un único subgrupo de índice $p$ a menos que haya solamente uno de estos grupos. Me pregunto si hay una buena prueba de este resultado que no utiliza el teorema de clasificación. ¿Alguien sabe de uno?
Respuestas
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Si $G$ es finito entonces todo correcto subgrupo está contenida en un subgrupo maximal, por lo que cada apropiado subgrupo está contenida en $H$. Afirmo, pues, que $\langle x \rangle = G$ cualquier $x\in G\setminus H$ - ¿por qué?
Si $\langle x \rangle$ fueron adecuados en $G$, entonces tendríamos $\langle x \rangle \leqslant H$, una contradicción. Por lo $\langle x \rangle=G$.
Tenga en cuenta que este argumento no requiere que el $G$ es abelian. De hecho, se podría incluso ampliar su hipótesis de "$G$ es un grupo finito con un único subgrupo maximal."
Goethe
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Consejo: Basta para demostrar que $G$ tiene exactamente un subgrupo de orden $m$ para cada $m$divisoria $|G|$. Demostrar por inducción que si tenemos más de un subgrupo de orden $p^k$ $p^k\mid |G|$ entonces nos podemos levantar esto a los dos subgrupos de $p$de % de distinto índice. Así, $G$ tiene exactamente un subgrupo de orden $p^k$ para cada $p^k\mid|G|$ y así $G$ será cíclica.
Jeff Leonard
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De hecho las hipótesis pueden ser debilitadas y la conclusión seguirá siendo (casi) el mismo:
Que $G$ ser un grupo de orden $p^n$ para cebar $p$ y se supone que $G$ contiene un único subgrupo de orden $p^k$ $1\leq k \leq n-1$.
Entonces es cíclico o $G$ $p = 2$, $k = 1$ $G$ es el cuaternión generalizada (así $n\geq 3$).
Para una prueba de ello, se puede ver grupos de primer potencia la orden de Berkovich (es la Proposición 1.3).
