Otra prueba de Liouville ' teorema s.

Question

Que $f(z)=\sum_{n} a_n z^n$ tiene radio de convergencia $R>0$ y $0<r<R$. Mostrar:

$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(re^{it})|^2 dt= \sum_{n}|a_n|^2r^{2n}$$

Utilice esta igualdad para demostrar el teorema de Liouvelle.

¿Alguien me puede dar una pista a cómo proceder con esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que al multiplicar y el cuadrado de la serie para $f$, y el uso de la relación $|w|^2=w\bar{w}$ vemos que $$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(re^{it})|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \big(\sum_{j=0}^{\infty} c_jr^je^{ijt} \big)\big(\sum_{k=0}^{\infty} \bar{c_k} r^k e^{-ikt} \big) dt $$$$=\frac{1}{2\pi} \sum_{j,k=0}^{\infty}c_j\bar{c_k} r^{j+k} \int_0^{2\pi} e^{i(j-k)t} dt $$and in this last expression note that the integrand is zero unless $j=k$. Yo estaba deliberadamente informal, con mi infinita sumas (debe ser de unos límites en los que hay).

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Para la segunda parte de su pregunta, supongamos $f$ es un almacén de toda la función, decir $|f| \leq M$.

A continuación, el lado izquierdo de la ecuación anterior está limitada anteriormente por $M^2$ todos los $r>0$.

Ahora, por contradicción, supongamos que algunos de los $c_n \neq 0$. A continuación, el lado derecho es mayor que o igual a$|c_n|^2r^{2n}$, que se acerque a$\infty$$r \to \infty$.

¿Ve usted una contradicción?

Answer 2

Tenemos $f(z)=\sum_n c_nz^n$.

La sustitución de $z=re^{it}$ y evaluación,

$\left|f(re^{it})\right|^2=\sum_n\left|c_n\right|^2r^{2n}+\sum_n\sum_mg(n,m,r)\times e^{i(n-m)t}$

Integrando ambos lados de $t=0$ $t=2\pi$ debe hacerlo.