Mapa lineal$f:V \rightarrow V$, que es inyectivo pero no sobrejectivo

Question

Estoy tratando de encontrar un mapa lineal$f:V \rightarrow V$, que es inyectivo pero no surjective.

Siempre pensé que si la dimensión del dominio y codomain son iguales y el mapa es inyectivo implica que un mapa es surjectivo. Tal vez necesitamos una base infinita del espacio vectorial$V$? ¿Qué puede ser un ejemplo de eso?

¡Gracias!

Answer 1

Sí, necesitamos un espacio vectorial de dimensión infinita. Un ejemplo interesante es:$V$ el espacio de funciones continuas$[0,1]\to\mathbb R$ y$f$ integration$f(g)(x)=\int_0^xg(t)\,\mathrm dt$. Esto no es sobrejectivo porque$f(g)(0)=0$ para todos$g$

Answer 2

En dimensiones finitas tenemos esa bijectividad$\Leftrightarrow$ injectivity$\Leftrightarrow$ surjectivity. Por lo tanto, tenemos que llegar a un ejemplo de dimensión infinita. La idea es elegir una base$v_i, i\in \mathbb N$, y cambiar cada vector de base$v_i \mapsto v_{i+1}$. Podemos hacer que no golpear el primer vector de base sólo porque tenemos infinitamente muchos elementos.