Demuestre que$\sin(x + \alpha)$,$\sin(x + \beta)$ y$\sin(x + \gamma)$ son linealmente dependientes.

Question

Funciones de $f$ $g$ son independientes en un intervalo de $D$ si $af(x) + bg(x) = 0$ implica que el $a = 0$ y $b = 0$ $\forall x \in D$

vamos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ser reales constantes. Demostrar que

$\sin(x + \alpha)$, $\sin(x + \beta)$ y $\sin(x + \gamma)$

los vectores son linealmente dependientes en $C^0[0, 1]$. Ser convincente en su razonamiento (argumento)

Estuve investigando y encontré Wronskian. El uso de la Wronskian de tres funciones. El determinante de $f$, $g$ y $h$ $W(f, g, h) = $

$$ \begin{vmatrix} f & g & h \\ f' & g' & h' \\ f'' & g'' & h'' \\ \end{vmatrix} $$ Si $W(f, g, h) \neq 0$ $f(x)$, $g(x)$ y $h(x)$ son linealmente independientes.

Si $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ son linealmente dependientes, a continuación, $W(f, g, h) = 0$

Mi intento

Vamos

$f(x) = \sin(x + \alpha)$, $g(x) = \sin(x + \beta)$ y $h(x) = \sin(x + \gamma)$

$W(f, g, h) =$ $$ \begin{vmatrix} \sin(x + \alpha) & \sin(x + \beta) & \sin(x + \gamma) \\ \cos(x + \alpha) & \cos(x + \beta) & \cos(x + \gamma) \\ -\sin(x + \alpha) & -\sin(x + \beta) & -\sin(x + \gamma) \\ \end{vmatrix} $$

$= \sin(x + \alpha)[-\sin(x + \gamma)\cos(x + \beta) + \cos(x + \gamma)\sin(x + \beta)] - sin(x + \beta)[-\sin(x + \gamma)\cos(x + \alpha) + \cos(x + \gamma)\sin(x + \alpha)] + \sin(x + \gamma)[-\sin(x+ \beta)\cos(x + \alpha) + \cos(x + \beta)\sin(x + \alpha)]$

$= -\sin(x + \alpha)[\sin((x + \gamma) +(x + \beta))] + \sin(x + \beta)[\sin((x + \gamma) + (x + \alpha))] - \sin(x + \gamma)[\sin((x + \beta) + (x + \alpha))] = 0$

Por Wronskian, $f(x)$, $g(x)$ y $h(x)$ son linealmente dependientes desde $W(f, g, h) = 0$

No estoy seguro si este argumento es el sonido?

Answer 1

Un método corto:

Como$$\sin(x+\alpha)=(\cos \alpha) \sin x + (\sin \alpha) \cos x$ $ tenemos$\sin(x+\alpha) \in \text{Span}\{\sin x, \cos x\}$

Esto implica que el rango de la familia$(\sin(x+\alpha),\sin(x+\beta),\sin(x+\gamma))$ es$2$. Esto significa que hay dependientes lineales.

Answer 2

Como Mohamed señaló en su respuesta, podemos usar la fórmula de la suma de ángulos para $\sin$, viz.:

$\sin (x + \alpha) = \cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x, \tag{1}$

$\sin (x + \beta) = \cos \beta \sin x + \sin \beta \cos x, \tag{2}$

$\sin (x + \gamma) = \cos \gamma \sin x + \sin \gamma \cos x, \tag{3}$

para ver que las tres funciones de la mentira en el subespacio generado por $\sin x$$\cos x$, que es, por supuesto,$\text{Span} \{ \sin x, \cos x \}$, y desde $\sin (x + \alpha)$, $\sin (x + \beta)$, $\sin (x + \gamma)$ son, por tanto, tres vectores en un subespacio de dimensión dos, una dependencia lineal entre ellos debe existir.

Yendo un paso más allá, podemos resolver para $\sin x$, $\cos x$ en términos de $\sin (x + \alpha)$, $\sin(x + \beta)$ y así encontrar la dependencia lineal de forma explícita. Tenemos, de (1) y (2),

$\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \beta & \sin \beta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \sin x \\ \cos x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin (x + \alpha) \\ \sin(x + \beta) \end{pmatrix}; \tag{4}$

la inversa de

$\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \beta & \sin \beta \end{bmatrix} \tag{5}$

es fácil de ver para ser

$(\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta)^{-1}\begin{bmatrix} \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\cos \beta & \cos \alpha \end{bmatrix} = (\sin(\beta - \alpha))^{-1}\begin{bmatrix} \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\cos \beta & \cos \alpha \end{bmatrix}, \tag{6}$

a partir de la cual se deduce que

$\begin{pmatrix} \sin x \\ \cos x \end{pmatrix} = (\sin(\beta - \alpha))^{-1}\begin{bmatrix} \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\cos \beta & \cos \alpha \end{bmatrix}\begin{pmatrix} \sin (x + \alpha) \\ \sin(x + \beta) \end{pmatrix}. \tag{7}$

(7) da $\sin x$, $\cos x$ en términos de $\sin(x + \alpha)$, $\sin(x + \beta)$; el resultado de las fórmulas de insertarse en (3) para expresar $\sin(x + \gamma)$ en términos de $\sin(x + \alpha)$, $\sin(x + \beta)$; os dejo el necesario álgebra a mis lectores. Uno debe, por supuesto, estar atentos a la posibilidad de que $\sin(\beta - \alpha) = 0$; pero este es un caso especial se manejan mejor por su propia cuenta.

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 3

Explique cómo obtuvo esa expresión para$W(f,g,h)$ igual a$0$. De lo contrario, el argumento es bueno.

Otra idea: considerar la reescritura de las funciones con las fórmulas de ángulo suma, luego interpretar las tres funciones como tres vectores en un espacio vectorial bidimensional cubierto por$\sin$ y$\cos$.

Answer 4

Otra solución:

Si sabes que el conjunto de la ecuación diffrencial es:$$(E) \quad y''+y=0$$ solutions is a two dimensinal space, then since the three applications : $ x \ mapsto \ sin (x a)$ where $ a \ en \ {\ alpha, \ beta, \ gamma \} $ are solutions of $ (E) $, hay linealmente dependentes.