Número de soluciones reales de una ecuación aleatoria

Question

Deje $(J_{ij})$ $n \times n$ matriz aleatoria con me.yo.d Gaussiana centrada en los coeficientes de con $\displaystyle \mathbb{E}[J_{ij}^2] = \frac{\sigma^2}{n}$.

Deje que la variable aleatoria $A_n(\sigma)$ se define como el número de soluciones reales en $\mathbb{R}^n$ de los : $$-x_i + \sum_{j=1}^n J_{ij} \phi(x_j) = 0\mbox{ for all }1\leq i \leq n$$ donde $\phi(x) = \arctan(x)$.

La pregunta es : ¿qué es la ley de la $A_n(\sigma)$ ? En particular, su expectativa ?

Yo sé cómo resolver "a mano" el caso n=1 y n=2, pero luego se vuelve muy doloroso.

Alguna idea?

Gracias!

Edit: tengo una conjetura, pero no sé si es cierto:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\log \mathbb{E}[A_n(\sigma)] = C(\sigma)$$ con $C(\sigma)=0$$\sigma <1$$C(\sigma)=O((\sigma-1)^2)$$\sigma \to 1^+$.

¿Qué piensa usted de esto?

Answer 1

Voy a hacer un intento. Creo que esto reduce el problema a una integral, pero no sé si se puede encontrar en forma cerrada.

Deje $d\mu(J)$ ser la densidad de probabilidad en las matrices $J$; el valor esperado para el número de soluciones de la ecuación será dada por $$ \int d\mu(J) \int d\vec{x}\ [\vec{x}=J\vec{\phi}], $$ donde $\vec{\phi} = \arctan\vec{x}$. Cambiar el orden de integración para obtener $$ \int d\vec{x}\int d\mu(J)\ [\vec{x}=J\vec{\phi}], $$ a continuación, podemos encontrar, en el interior de la integral. El exterior de la integral se toma sobre todos los vectores $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$.

La condición de $\vec{x}=J\vec{\phi}$ se compone de $n$ independiente de condiciones, cada uno de más de $n$ entradas de $J$. Considere la posibilidad de una fila de la ecuación: $$ \int d\mu(\vec{J}_i) [x_i = \vec{J}_i \cdot\vec{\phi}]. $$ Debido a $J_{ij}$ son yo.yo.d. Gaussiano, con una media de 0, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\vec{\phi}$ está señalando a lo largo de, digamos, el eje de la $J_{i1}$, lo que elimina $J_{i2},\ldots,J_{in}$ desde el integrando, e implica que $$ \int d\mu(\vec{J}_i) \left[x_i = J_{i1} \|\vec{\phi}\|\right] = (2\pi\sigma^2)^{-1/2}\exp\left (-\frac{x_i^2/\|\vec{\phi}\|^2}{2\sigma^2} \right). $$

Ahora, $$\int d\mu(J) [1_{\vec{x}=J\vec{\phi}}] = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left(-\frac{\|\vec{x}\|^2/\|\vec{\phi}\|^2}{2\sigma^2}\right), $$ y así que la respuesta es $$ I = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \int d\vec{x}\ \exp\left(-\frac1{2\sigma^2}\frac{\|\vec{x}\|^2}{\|\arctan \vec{x}\|^2} \right). $$

Ahora, tomar el hecho de que $|\arctan x|\leq |x|$, y aproximar la integral por $$ I \leq (2\pi\sigma^2)^{-n/2}e^{-1/(2\sigma^2)}\pi^n + \cdots, $$ donde $\pi^n$ es el volumen del cubo $[-\pi/2,\pi/2]^n$, y estoy suponiendo que (a pesar de que esto parece razonable supongo) que la contribución desde fuera del cubo es asintóticamente insignificante. Entonces $$ \lim_{n\to\infty} \frac1n \log I < \frac12\log(\pi/2) - \log\sigma. $$ Por desgracia, no estoy del todo seguro de que este obligado es apretado o incluso corregir.