Tengo un problema para determinar la convergencia (suma de n). $$\sum_{n=0}^\infty \dfrac {a\left( a+1^{p}\right) \ldots \left( a+n^{p}\right) }{b\left( b+1^{p}\right) \ldots \left( b+n^{p}\right) }$$where $a<b, a>0,b>0$.
He llegado a la conclusión de convergencia para $p\leq0$ comparándolo con un construido progresión geométrica, así como para $p=1$, utilizando la prueba de comparación con $n^{a-b}$. Pero no puedo utilizar métodos similares para$p>1$$0<p<1$.
Tengo algunas ideas para las dos partes:
Al $p>1$, parece que el límite de cada término no es $0$. Si el límite podría ser evaluado, entonces la divergencia puede ser demostrado. Mi método para $p=1$ es para uso de Euler Producto de la función gamma, pero el $p$ de la potencia hace que sea imposible utilizar este método. Me pregunto si existe algún tipo de generalización de la función gamma que es de esta forma.
al $0<p<1$, lo comparó con el caso de $p=1$, que al menos podría decirle que converge en el intervalo de al $p=1$ convergen. Pero no es concluyente para las partes restantes.
Cualquier ayuda o sugerencias se agradece.
