Lipschitz en cada punto en$[a,b]$ pero no Lipschitz en$[a,b]$?

Question

La pregunta es:

Encuentra una función en$[a,b]$ que es Lipschitz en cada punto de$[a,b]$, pero no Lipschitz en$[a,b]$.

Estoy teniendo un tiempo difícil imaginar esto, y por lo tanto, tener un tiempo difícil encontrar una función ... No he aprendido mucho sobre esto, aparte de la definición (ni siquiera derivados aún!), Así que si alguien me puede ayudar a imagen Esto que sería increíble!

Answer 1

Supongo que por "Lipschitz en cada punto" que significa:

Para cada $x \in [a,b]$ hay $\varepsilon_x \gt 0$ y una constante de $C_x$ (que puede depender de $x$) tal que para todos los $y \in [a,b]$ $|y-x| \lt \varepsilon_x$ tenemos $|f(y) - f(x)| \lt C_x |y-x|$.

(No sé si este es un estándar de la noción, es una definición que yo mismo he inventado sobre la marcha, porque esa es la única interpretación de "Lipschitz en cada punto" lo que yo podía pensar de que 1. merece el nombre, y 2. no implica Lipschitz en un intervalo compacto.)

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En busca de inspiración, en la siguiente imagen puede ayudar a: es la gráfica de $x\sin{\frac{1}{x}}$. Sin embargo, muestra rigurosamente que es Lipschitz en cada punto es un poco engorroso sin derivados:

La imagen debe indicar qué hacer: hacer la función de "oscilar" salvajemente por lo que las constantes $C_x$ no puede ser elegido para ser delimitada por encima de al $x$ rangos de $[a,b]$. Esto casi sería alcanzado por la función $\sin{\frac1x}$, pero que la función no es continua (y por tanto de Lipschitz) a $0$. Por eso he añadido un factor de $x$ conseguir $x\sin{\frac1x}$ y y por lo tanto apretar la gráfica de $\sin{\frac1x}$ en la región de $\{|y|\leq |x|\}$, lo que garantiza que la función es Lipschitz en $0$.

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Para un ejemplo basado en la idea de que puede ser abordado sin tomar derivados, sugiero la siguiente construcción en $[0,1]$:

Poner $f(0) = 0$.

Dividir el intervalo de $[0,1]$ en los intervalos de $I_n = \left[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$, $n=1,2,3,\ldots$.

Si $n$ es impar definir $f_n$ $I_n$ a ser el segmento de línea recta que conecta $\left(\frac{1}{n+1},-\frac1{n+1}\right)$ $\left(\frac1n,\frac1n\right)$e si $n$ es incluso definir $f_n$ a ser el segmento de línea recta que conecta $\left(\frac{1}{n+1},\frac1{n+1}\right)$$\left(\frac1n,-\frac1n\right)$.

La idea es: La longitud del intervalo $I_n$$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$, mientras que $|f(\frac{1}{n}) - f(\frac{1}{n+1})| = \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n(n+1)}$, por lo que la función de la pendiente en $I_n$$2n+1$.

Esto le dará una función del tipo deseado que se ve algo como esto:

Yo voy a dejar a usted para averiguar la detallada fórmulas y para demostrar que es Lipschitz en cada punto, pero no de Lipschitz en todo el intervalo de $[0,1]$.

Tan pronto como usted tiene que, simplemente tome $g(x) = f\left(\frac{x-a}{b-a}\right)$$[a,b]$.