Caracterización de la norma$H^{-1}$ - en el libro PDE de Evans

Question

Estoy leyendo a través de la sección Espacios de Sobolev en Evans Ecuaciones Diferenciales Parciales libro, y yo estaba atrapado en un teorema de caracterización de la $H^{-1}$ norma. En la página 299 Teorema 1 (en la segunda edición), se muestra que para $f \in H^{-1}(U)$, $$\begin{multline}\|f\|_{H^{-1}(U)} = \inf \Big\{ \left( \int_U \sum_{i=0}^n |f^i|^2 dx \right): \langle f, v \rangle = \int_U f^0 v + \sum_{i=1}^n f^i v_{x_i} dx,\\ \;f^0,\ldots,f^n \in L^2(U), \; \forall v \in H^1(U)\Big\}. \end{multline}$$

Aquí $\langle \cdot, \cdot \rangle$ denota la doble vinculación de $H^{-1}$$H_0^1$.

Para mostrar esto, se establece en primer lugar que, dado $f \in H^{-1}(U)$, podemos aplicar a la Representación de Riesz Teorema para obtener un elemento $u \in H_0^1$ tal que $(u,v)_{H_0^1} = \langle f,v \rangle \; \forall v \in H_0^1$ donde $(u,v)_{H_0^1} = \int Du \cdot Dv + uv dx$ es un producto interior en $H_0^1$. Entonces podemos definir el $f^0=u$ $f^i = u_{x_i}$ por cada $i$.

Ahora, si $\langle f, v \rangle = \int_U g^0 v + \sum_{i=1}^n g^i v_{x_i} dx$$g^0,\ldots,g^n \in L^2(U)$, a continuación, seleccionando $v=u$, podemos ver que $$\int_U |Du|^2 +|u|^2 dx \leq \int_U \sum_{i=0}^n |g^i|^2 dx.$$

¿Cómo se consigue esta desigualdad?

Cuando dejas $v=u$, se obtiene $$\int_U |Du|^2 +|u|^2 dx = \int_U g^0 u + \sum_{i=1}^n g^i u_{x_i} dx$$ y no veo cómo se puede obtener el $\{u,u_{x_i}\}$ lo que se refiere a desaparecer en el lado derecho.

Answer 1

Es una aplicación de la (s) desigualdad (es) de Cauchy-Schwarz. Como$u$,$u_{x_i}$ y$g^i$ están en$L^2(U)$ } Aplicando esta desigualdad de tiempo de Cauchy-Schwarz para sumas, a saber $ \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ n a_ib_i \ leq \ sqrt {\ sum_ {i = 0} ^ n | a_i | ^ 2} \ sqrt {\ sum_ {I = 0} ^ n | b_i | ^ 2} $, para$\int_ug^0udx\leq \sqrt{\int_U|g^0|^2dx}\sqrt{\int_U|u|^2dx}$,$i\in\{1,\ldots, n\}:\int g^iu_{x_i}\leq \sqrt{\int_U|g^i|^2dx}\sqrt{\int_U|u_{x_i}|^2dx}$,$\displaystyle a_0=\sqrt{\int_U|g^0|^2dx}$ y$\displaystyle b_0=\sqrt{\int_U|u|^2dx}$ para$\displaystyle a_i=\sqrt{\int_U|g^i|^2dx}$. Si$\displaystyle b_i=\sqrt{\int_U|u_{x_i}|^2dx}$, la desigualdad que tenemos que mostrar es obvia, y si no es el caso podemos dividir por$1\leq i\leq n$.