Creo que el siguiente artículo:
Gregory H. Moore. El axiomatization de álgebra lineal: 1875-1940. Historia Mathematica, Volumen 22, Número 3, 1995, Páginas 262-303
(Disponible aquí de Elsevier)
puede arrojar algo de luz sobre tu pregunta, aunque puede que no tenga suficiente experiencia matemática para entender todo el artículo. Aquí está mi entendimiento de haber navegado por el artículo, pero debo insistir en que estoy no un matemático, historiador, así que por favor no me fijé!
La idea de un espacio abstracto donde además se define entre los elementos y hay un campo de acción (en lugar de una actuación particular como, por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ o $C([0,1])$) parece ser debido a que Peano en 1888, donde se les llama sistemas lineales. La definición de un espacio vectorial abstracto no se popularizó hasta la década de 1920 en el trabajo de Banach, Hahn, y Wiener, cada uno trabajando por separado. Hahn se define espacios lineales con el fin de unificar la teoría de las integrales singulares y Schur las transformaciones lineales de la serie (tanto el empleo de infinitas dimensiones de los espacios). Wiener introducido sistemas de vectores que parece ser aproximadamente equivalente a la de Banach con la definición, la cual fue motivada por la búsqueda de un marco común para entender integral de los operadores (de Banach de 1922 papel "Sur les operaciones dans les conjuntos abstraites et leur aplicación aux équations intégrales" está disponible en internet y es bastante fácil de leer) que fueron definidas en campos (dominios).
Entiendo que el nombre moderno de espacio vectorial es popular porque de una amplia difusión de 1941 libro de texto por Birkhoff y MacLane, Una Encuesta de Álgebra Moderna, donde el término se utiliza.
Como Asaf y Hans se han indicado en sus observaciones, la motivación para llamar a estos espacios de espacios vectoriales es porque intuitivamente, generalizan nuestra comprensión de la "vectores" (las diferencias entre los puntos) en un número finito de dimensiones Euclidianas. La motivación para llamar a estos espacios espacios lineales es debido a nuestra capacidad para sumar los diferentes elementos es la característica fundamental que nos permite aplicar la teoría general para resolver problemas específicos que no son obviamente (para la década de 1920 ojo) acerca de los vectores (en particular, en la PDE, las matemáticas y la física).
En su curso, es poco probable que el material de la cubierta que requiere esta abstracción, pero es un buen hábito para su posterior matemáticas para trabajar en la generalidad, mientras que mantener su intuición en ejemplos concretos.
