¿Ejemplos de integrales "difíciles" que son más fáciles de resolver con una serie?

Question

Ayer alguien publicó una solución extremadamente elegante para una serie aparentemente extraña en la que la integral:

$$\int_{0}^{1} x^{m}\ dx = \frac{1}{m + 1}$$

se utilizó.

A menudo también se intercambia la suma desde el interior de la integral hacia el exterior en el caso de series uniformemente convergentes.

¿Existen situaciones en las que una integral de aspecto complicado tiene una solución "trivial" en forma de serie?

Answer 1

La siguiente integral doble es un ejemplo.

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{1-xy}\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^{k-1}\,dx\,dy\\=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(xy)^{k-1}\,dx\,dy=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{k-1}\,dx\int_{0}^{1}y^{k-1}\,dy=\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

Answer 2

En física estadística, las integrales de la forma $\int_0^\infty dx\, {x^n}(e^{x}\pm 1)^{-1}$ son comunes, y el enfoque estándar es expandir el recíproco en potencias de $e^{-x}$ : \begin{align} \int_0^\infty dx\, \frac{x^n}{e^{x}\pm 1} &= \int_0^\infty dx\, \frac{x^n e^{-x}}{1\pm e^x}\\ &= \int_0^\infty dx\, x^n \sum_{k=0}^\infty (\mp 1)^k e^{-(k+1)x}\\ &= \sum_{k=0}^\infty (\mp 1)^k \int_0^\infty dx\, x^n e^{-(k+1)x}\\ &= \sum_{k=0}^\infty (\mp 1)^k \frac{n!}{(k+1)^{n+1}} = \left\{\array{n!\,\eta(n+1)\\ n!\, \zeta(n+1)}\right\} \end{align} donde $\eta(n)$ y $\zeta(n)$ son las funciones eta de Dirichlet y zeta de Riemann respectivamente. (Nótese que dichas integrales son en realidad casos particulares del polilogaritmo).

Answer 3

Aquí hay un integral que vi sobre esto Hilo AoPS hace un tiempo: $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\left(\ln\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right)^2\,dx$

WolframAlpha nos dice que la respuesta es $\dfrac{\pi^2}{3}$ que debería recordarle $\zeta(2) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$ .

Efectivamente, utilizar una serie infinita es el camino a seguir. Específicamente, esta: $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}ny^{n} = \dfrac{y}{(1-y)^2}$ .

Por supuesto, la evaluación de esa integral requería algunos trucos más. Consulta ese hilo para ver unas cuantas soluciones.