¿Cuándo y por qué los productos preservan los pushouts?

Question

Deje $A,B,C$ espacios topológicos y, a continuación, $D$ el pushout de un diagrama de

$$B\stackrel{b}{\leftarrow}A\stackrel{c}{\rightarrow}C.$$

Me parece lógico que para un quinto espacio topológico $E$ el pushout de

$$B\times E\stackrel{b\times\operatorname{id}_{E}}{\leftarrow}A\times E\stackrel{c\times\operatorname{id}_{E}}{\rightarrow}C\times E$$

es homeomórficos para el producto $D\times E$.

Sin embargo, varios intentos de llegar con una simple prueba terminó en algún momento de donde no había obvio siguiente paso, por así decirlo. Esto me hace pensar que este resultado no se mantiene en una configuración general como el de arriba.

Por otro lado, no veo, ¿por qué algo como esto no debería de trabajo, incluso en más ajustes generales como de las otras categorías.

Puede que alguien me apunte en la dirección correcta aquí? En el que (de preferencia muy general) situación a los anteriores mantienen y cómo usted va sobre un simple, abstracto, prueba de ello?

Answer 1

El cuerpo de la pregunta no parece coincidir con el título (¿no quieres tomar el producto con $E$?) así que estoy respondiendo a la pregunta del título. Si $A$ está vacía, a continuación, un pushout es sólo un subproducto, por lo que un caso especial de la pregunta (en categorías con un objeto inicial) se pregunta si los productos de distribuir a través de co-productos. Categorías con esta propiedad se llaman distributiva. Como Zhen notas en los comentarios, distributiva categorías incluyen cartesiano categorías cerradas, donde tomar el producto con un elemento fijo tiene un derecho adjuntos y por lo tanto conserva arbitraria colimits (incluyendo pushouts).

Sin embargo, muchas categorías familiares no ser distributiva; tomar, por ejemplo, $\text{Ab}$. Esto es fácil de comprobar para finitos abelian grupos.

También se sabe que $\text{Top}$ no es cartesiana cerrada. Sin embargo, es, en cierto sentido, no lejos de ser cartesiana cerrada, el pleno de la subcategoría de forma compacta generado espacios de Hausdorff (y me parece que uno puede debilitar la segunda condición aún más) es cartesiana cerrada.

(Por cierto, "pushouts conmuta con productos" no es un buen nombre para esta propiedad; el significado de la frase "X desplazamientos con Y" debe ser invariante bajo la conmutación de X y Y, pero el real de la propiedad que usted desea no está satisfecho con esto. "Los productos de preservar pushouts" podría ser mejor).