Intuitivamente, "El actual Rey de Francia es calvo" es falso. Pero Bertrand Russell dijo que significaría que "El actual rey de Francia no es calvo". de Francia no es calvo", lo que parece ser falso. Esto aparentemente lleva a una contradicción.
¿Podrían las afirmaciones sobre cosas que no existen no ser falsas en matemáticas (o incluso verdaderas)?
Por ejemplo, ¿se $\frac{1}{0}=3$ significa nada, ya que $\frac{1}{0}$ no existe?
(1) El OP escribe:
Intuitivamente, "El actual rey de Francia es calvo" es falso. Pero Bertrand Russell dijo que significaría que "El actual rey de Francia no es calvo", lo que parece ser falso. Esto aparentemente lleva a una contradicción.
No, Bertrand Russell no dijo eso. Más bien distinguió dos lecturas de "El actual rey de Francia no es calvo". Esto puede ser analizado como "No es el caso que el actual Rey de Francia sea calvo" o "El actual Rey de Francia no es calvo". (Hay una ambigüedad de alcance: ¿la negación tiene un alcance amplio, toda la frase, o un alcance estrecho, el predicado?)
Regimientos Russell "El actual rey de Francia es calvo" como
$$\exists x(KFx \land \forall y(KFy \to y = x) \land Bx)$$
donde ' $KF$ ...' expresa "... es un rey actual de Francia" y "... $B$ ..." expresa es calvo (hay uno y sólo un Rey de Francia y es calvo). Entonces las dos lecturas de "El actual rey de Francia no es calvo" son respectivamente
$$\neg\exists x(KFx \land \forall y(KFy \to y = x) \land Bx)$$
$$\exists x(KFx \land \forall y(KFy \to y = x) \land \neg Bx)$$
La primera es verdadera, la segunda falsa: no hay paradoja ni contradicción. Los problemas sólo surgen si se confunden las dos cosas.
(2) El PO también escribe
Hace $\frac{1}{0}=3$ significa nada, ya que $\frac{1}{0}$ no existe?
Compara: "El (actual) Rey de Francia" es una expresión con sentido -- se sabe perfectamente qué condición tendría que cumplir alguien para ser su denotación. De hecho, es porque usted entiende la expresión (capta su significado) que -- juntando eso con su conocimiento de los acuerdos constitucionales actuales de Francia -- sabe que carece de un referente. La expresión es lingüísticamente significativa pero resulta que no denota nada (con el mundo tal y como es). Del mismo modo, hay un buen sentido en el que entiendes " $\frac{1}{0}$ " perfectamente: significa "el resultado de dividir uno entre cero". Es porque entiendes la notación, y porque sabes que la división es una función parcial y no devuelve ningún valor cuando el segundo argumento es cero, que sabes que " $\frac{1}{0}=3$ " no es cierto. Los símbolos no son una mera basura: sabes qué función debes aplicar a qué argumentos. Así que, en el buen sentido, los símbolos " $\frac{1}{0}$ "tienen sentido aunque no denoten un valor. En términos de Frege, la expresión tiene sentido pero carece de referencia.
(3) Marc van Leeuwen escribe
El uso del artículo definido "el" en "el actual Rey de Francia" afirma implícitamente que hay exactamente una persona que es actualmente el Rey de Francia; como no es así, cualquier frase que se refiera a esto carece de sentido".
No es así. Por ejemplo, la frase "Nadie es el actual rey de Francia" no sólo tiene sentido, sino que es verdadera, por lo que no puede ser que el hecho de contener el no-referente "el actual rey de Francia" haga que no tenga sentido.
El lenguaje natural no es como la lógica formal. "Nadie es el actual rey de Francia" no es una frase que se refiera al "actual rey de Francia", y no expresa una propiedad a la persona designada como quizá lo haría "el actual rey de Francia no es nadie" (aunque ser nadie tampoco está claro). Y esto a pesar de que ser el mismo (persona) es normalmente una relación simétrica. De hecho, esa frase no es lingüísticamente muy clara; probablemente expresa lo mismo que "nadie es actualmente el Rey de Francia", que es la negación de un enunciado de existencia (¿único?).
@Marc: Pero el hecho es que mientras la frase el actual Rey de Francia no tiene referente, es es con sentido. De hecho, el hecho de que sepamos que no tiene referente demuestra que es significativo. Y no es cierto que el uso del artículo definido implique siempre unicidad: consideremos El hombre de la calle piensa... , El hombre del ómnibus de Clapham nunca... , El tigre es una bestia temible etc. La semántica del artículo definido es extremadamente complicada.
@BrianM.Scott: Estoy de acuerdo en que "el" en el lenguaje natural puede tener muchos significados. Pero mantengo que, por ejemplo, decir en teoría de anillos que el ideal máximo $m$ de $R$ tiene alguna propiedad $P(m)$ afirma implícitamente que $R$ es un anillo local (tiene un único ideal maximal); si no lo es (hay múltiples ideales maximales, o ninguno), entonces ni $P(m)$ ni $\lnot P(m)$ mantener, por lo que digo que al afirmar $P(m)$ no tiene sentido en estos casos. Esto no implica, por supuesto, que no sepamos qué es un ideal máximo.
Este es el tipo de cosas que lógica libre puede manejar en formas que la lógica clásica no puede. En la jerga lógica, la frase "el actual rey de Francia" es un término singular que no denota ningún objeto. Dependiendo de la semántica de la lógica libre que se utilice, la frase "el actual rey de Francia es calvo" puede ser verdadera, falsa o sin valor de verdad.
Por otra parte, en la lógica de primer orden normal, a menudo traducimos una oración "the" del inglés a una oración formal con un cuantificador. En este caso, "el actual rey de Francia es calvo" podría convertirse en "para cada persona $P$ , si $P$ es el actual rey de Francia entonces $P$ es calvo" (que es una frase verdadera, clásicamente, en la interpretación pretendida) o "hay una persona $P$ que es el actual rey de Francia y es calvo" (lo cual es falso, clásicamente).
Algo falla al tratar de dilucidar "la actual K de F es calva" utilizando algún análisis que todavía utiliza "el presente K de F". Sean cuales sean los fallos del análisis de Russell, ¡al menos evita ese escollo!
¿Qué otra cosa es "el actual rey de Francia" sino un término sin denominación? ¿Hay algo especial en él, en comparación con cualquier otro término sin denominación? Me parece que también podría preguntar si los unicornios llevan patines.
Las expresiones o frases matemáticas que no están definidas, o que hacen una afirmación implícita que no se satisface, no tienen sentido y no se les atribuye ningún valor (de verdad). Ejemplos de ello son, por ejemplo, las expresiones que contienen una división por $0$ El uso de la palabra "no" es una de las formas más comunes de utilizar la palabra "no", como los límites de las secuencias divergentes, o la toma del mínimo de un conjunto de números que resulta ser vacío; hay muchos más ejemplos. El uso del artículo definido "el" en "el actual rey de Francia" afirma implícitamente que hay exactamente una persona que es actualmente el rey de Francia; como no es el caso, cualquier frase que se refiera a esto carece de sentido.
¿Podrían las afirmaciones sobre cosas que no existen no ser falsas en matemáticas (o incluso verdaderas)?
Sí. En su ejemplo del rey de Francia:
Dejemos que K y B sean predicados unarios tales que
Suponemos que actualmente nadie es rey de Francia:
$~~~~\neg \exists x: K(x)$
Por lo tanto, nadie es a la vez actualmente el Rey de Francia y calvo:
$~~~~\neg \exists x: [K(x) \land \forall y:[K(y)\iff y=x]\land B(x)]$
Esta es una afirmación significativa sobre la inexistencia de los actuales reyes de Francia.
Hace $\frac{1}{0}=3$ ¿significa algo?
No, al menos no en los números reales. Para poder atribuir entonces cualquier valor de verdad a esta afirmación, se podría refundir como $1=3\times 0$ . Eso, por supuesto, sería una afirmación falsa en los reales.
También estoy en desacuerdo con su interpretación de $\frac10 = 3$ . Es razonable interpretar $\frac ab$ como "el número único que, multiplicado por $b$ se obtiene el producto $a$ ". En esta lectura, es bastante similar a la afirmación sobre el actual Rey de Francia; en su frase "una afirmación significativa sobre la inexistencia de números que, multiplicada por $0$ , se obtiene el producto $1$ ."
@MJD Me pareció que la respuesta de Peter Smith era un poco extensa. He intentado ir al grano un poco más rápido.
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Ambas afirmaciones son falsas. No son mutuamente excluyentes: el actual rey de Francia no es ni calvo ni no calvo, ya que no existe.
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O bien, ambas afirmaciones son vacuamente ciertas, ya que el actual rey de Francia no existe. Esto depende realmente de cómo se interprete la frase; se puede decir "Hay un rey de Francia y es calvo", o "Toda persona que es rey de Francia es calva".
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Sí, $1/0=3$ significa algo, significa $1=0\times3$ , por lo que significa $1=0$ . Por supuesto, es falso.
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@GerryMyerson: ¡No! Por ese razonamiento $0/0=3$ significaría $0=0\times 3$ lo cual es cierto, y también $1/0\neq 3$ sería verdadera, pero en realidad ambas son afirmaciones sin sentido (a menos que se utilice la definición que $1/0=\infty$ pero en el OP obviamente no se trataba de eso).
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@Marc, sí, muy descuidado por mi parte.
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@Gerry Myerson: Creo que es una buena respuesta- sólo estás ilustrando que la división es ocasionalmente multivaluada, cuando " $a/b$ " se entiende como "un valor $c$ con $bc = a$ ".
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Seguramente, "el actual rey de Francia no es calvo" es cierto, ya que no hay ningún rey actual de Francia y, por tanto, no es posible que sea calvo.
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La pregunta del título es un tema principal que se estudia en la semántica lingüística formal y en la filosofía del lenguaje conocida como descripción definitiva . Como se menciona en la referencia, el análisis de Russell es el más influyente (el rompecabezas sobre la negación de la frase de su título radica en la interpretación del alcance de la negación, no hay violación de la LEM aquí). P. F. Strawson y K. Donnellan criticaron mientras que S. Kripke defendió el análisis de Russell...