¿La convergencia uniforme implica la convergencia de las integrales?

Question

Dejemos que $(X,A,\mu)$ sea un espacio de medidas. Tomemos una secuencia $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ de valores reales medibles limitado funciones. Supongamos que $f_n \to f$ uniformemente en $X$ y supongamos que $\mu(X)<+\infty$ . Entonces $$\int_X f_n d\mu \to \int_Xf d\mu$$ cuando $n \to +\infty$ .

Este ejercicio está tomado de Rudin, Análisis real y complejo , capítulo 1. No entiendo dónde debo utilizar la hipótesis de acotación de las funciones. En efecto, $$\left \vert \int_X f-f_n d\mu \right\vert \le \int_X \vert f_n - f \vert d\mu \le \int_X \varepsilon d\mu = \varepsilon \mu(X)$$ para $n$ suficientemente grande.

¿Dónde utilizo la acotación de las funciones? ¿La necesito para decir $\vert \int_X f_n-f d\mu\vert \le \int \vert f-f_n \vert d\mu$ ?

Answer 1

La acotación de los mapas y la finitud del espacio de medidas se utilizan para estar seguros de que $\int_Xf_nd\mu$ y $\int_Xfd\mu$ son números reales.

Answer 2

Si las funciones no están acotadas, no se puede considerar el valor absoluto de la diferencia. se puede acabar con el infinito-infinito que es indefinido.