Demostrar que una matriz es invertible

Question

Demuestre que la matriz

$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \ldots & \frac{1}{n}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{n+1}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{n} &\frac{1}{n+1} &\ldots &\frac{1}{2n-1} \end{bmatrix}$

es invertible y $A^{-1}$ tiene entradas enteras.

Este problema aparecía en el capítulo uno de mi libro de texto de álgebra lineal, así que supongo que para demostrarlo no hace falta nada más que operaciones elementales con filas. Lo he estado mirando durante un rato y he considerado valores pequeños de $n$ pero no parece haber una forma inteligente de reducirla fácilmente a la matriz identidad. Alguien podría darme una pista o un empujón en la dirección correcta en lugar de una solución completa, ya que todavía estoy esperando para resolverlo yo mismo.

Answer 1

Si tu libro de texto de álgebra lineal es el libro de Álgebra Lineal de Kenneth Hoffmann y Ray Kunze, entonces yo estaba en la misma situación que tú ahora hace unos años, pero me aconsejaron en ese momento que este ejercicio en particular no era tan fácil como uno podría esperar al principio.

La matriz que tiene se llama Matriz de Hilbert y la pregunta que tienes ya fue hecha un par de veces en math overflow aquí y aquí . Ellos tienen excelentes respuestas, así que sólo les indicaré.