equivalencia de dos medidas

Question

Demuestre que, si para dos $\sigma$ -medidas finitas $\mu$ y $\nu$ definido en un $\sigma$ -Álgebra $\mathscr{F}$ , uno tiene $\mu(A)=\nu(A)$ para todos $A\in\mathscr{A}$ , donde $\sigma(\mathscr{A})=\mathscr{F}$ entonces $\mu=\nu$ . ¿Puede alguien darme pistas?

Answer 1

1. Supongamos primero que $\mu(X) < \infty$ , donde $X$ es todo el espacio. ( $X \in \mathcal{A}$ )
2. Aplicar el Lemma de Dynkin
3. Utilice $\sigma$ -para el caso general.

Si el espacio no es $\sigma$ -finito Creo que el resultado no es cierto, pero no tengo un contraejemplo de la cabeza. :)

Def( $\pi$ -sistema): Nosotros decimos $\mathcal C \subseteq \mathcal P(X)$ es un $\pi$ -sistema si $\mathcal C$ es cerrado bajo intersecciones finitas.

Def( $\Lambda$ -sistema): Nosotros decimos $\Lambda \subseteq \mathcal P(X)$ es un \textit{ $\lambda$ -sistema} si

1. $X \in \Lambda$ ;
2. si $A_i \in \Lambda$ con $A_i \subseteq A_{i+1}$ para $i \in \mathbb{N}$ entonces $\bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \Lambda$ ;
3. si $A,B \in \Lambda$ con $A \subseteq B$ entonces $B - A \subseteq \Lambda$ .

Lemma de Dynkin: Si $\mathcal C$ es un $\pi$ -sistema y $\Lambda \supseteq \mathcal C$ es un $\lambda$ -sistema, entonces $\Lambda \supseteq \sigma(\mathcal C)$ .