Puntos racionales en$y^5 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$

Question

¿Doess la curva antedicha tiene solamente dos puntos racionales a saber$(x,y)=(0,1)$ y$(-1,1)$?

Answer 1

Hay varias referencias en entero (y racional) de las soluciones de la ecuación $$ y^n=1+x+x^2+\cdots +x^{m-1} $$ para $m>2,\; n>1$, por ejemplo, el artículo de Li Yu y Maohua Le y las referencias en él; el artículo de N. Hirata-Kohno y T. N. Shorey de 1996, "En la ecuación de $(x^m-1)/(x-1)=y^q$ y las referencias allí contenidas, en varios de sus artículos por Y. Bugeaud, y en otros muchos documentos de este tipo. Yo creo que si una respuesta completa es posible, entonces usted va a encontrar la respuesta (y prueba) que hay en la literatura . Para $(m,n)=(5,5)$ es su ecuación. Yo creo que es su tarea ahora, para ir a través de todos estos casos que han sido atendidos allí.