¿Por qué este módulo es reflexivo?

Question

Dejemos que $A\subset B$ sean dos dominios noetherianos integralmente cerrados con $B$ generado finitamente como un $A$ -módulo. Entonces $B$ es reflexivo.

¿Podría explicarme por qué, por favor?

Reflexivo significa que el mapa natural de $B$ a $B^{**}$ , donde $B^{**}=\mathrm{Hom}_A(\mathrm{Hom}_A(B,A),A)$ es un isomorfismo.

Answer 1

Si $M$ es un $A$ -módulo y $N$ es un $B$ -módulo, entonces $Hom_A(B,M)$ es naturalmente un $B$ -(a través del módulo $B$ -estructura de módulo en $B$ mismo), y la evaluación en $1 \in B$ da una $A$ -morfismo lineal $Hom_A(B,M) \to M$ . Esto induce un morfismo $Hom_B(N,Hom_A(B,M)) \to Hom_A(N,M)$ , que se puede comprobar fácilmente que es un isomorfismo.

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Aplicando la conjunción anterior se observa que $$Hom_A(Hom_A(B,A),A) = Hom_B(Hom_A(B,A),Hom_A(B,A)) = End_B(Hom_A(B,A)),$$ y así tu pregunta se convierte en la pregunta de por qué el mapa natural $B \to End_B(Hom_A(B,A))$ es un isomorfismo.

Ahora $B$ es finito sobre $A$ Por lo tanto $Hom_A(B,A)$ es finito sobre $A$ Así pues, también sobre $B$ y por lo tanto $End_B(Hom_A(B,A))$ es un finito $B$ -Álgebra. Demostraremos que es igual a $B$ mostrando que se incrusta en el campo de fracciones de $B$ (y luego apelando a la integral cerrada de $B$ ).

Si escribimos $K$ y $L$ para los campos de fracción de $A$ y $B$ respectivamente, entonces $K\otimes_A B = L$ y así $Hom_A(B,A) \hookrightarrow Hom_A(B,K) = Hom_K(L,K)$ . El último de estos espacios es unidimensional sobre $L$ , y por lo tanto $End_L(Hom_K(L,K)) = L.$

De los resultados del párrafo anterior podemos extraer algunas conclusiones:

1. El mapa natural $Hom_A(B,A) \to L\otimes_B Hom_A(B,A)$ es inyectiva, es decir. $Hom_A(B,A)$ es libre de torsión sobre $B$ y por lo tanto $End_B(Hom_A(B,A))$ es libre de torsión sobre $B$ también, es decir, el mapa natural $End_B(Hom_A(B,A)) \to L\otimes_B End_B(Hom_A(B,A))$ también es inyectiva.

2. $L\otimes_K Hom_A(B,A) = Hom_K(L,K)$ y por lo tanto $L\otimes_B End_B(Hom_A(B,A)) = End_L(Hom_K(L,K)) = L.$

De 1. y 2. vemos que $End_B(Hom_A(B,A))$ es una subálgebra de $L$ que contiene $B$ . Es finito sobre $B$ (como se ha señalado anteriormente) y por lo tanto es igual a $B$ .

Esto completa el argumento. Nótese que no he utilizado la suposición de que $A$ es integralmente cerrado, así que o bien la afirmación es verdadera sin esta hipótesis, o bien me he equivocado. Yo no descartaría esta última posibilidad.