Producto de los números$\pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm \dots \pm \sqrt{100}$ es un cuadrado perfecto

Question

Sea$A$ el producto de$2^{100}$ números de la forma$$\pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm \dots \pm \sqrt{100}$ $ Demuestre que$A$ es un entero y, además, un cuadrado perfecto.

Encontré un problema similar aquí , pero la inducción no parece mostrar que$A$ es un cuadrado perfecto. Y creo que podemos generalizar el siguiente problema: si$n$ es un cuadrado perfecto entonces$A$ es un cuadrado perfecto, también.

Answer 1

El mismo argumento se puede usar para mostrar que el producto de$2^{n-1}$ numbers$\sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm \cdots \pm \sqrt{n}$ es un entero.

Entonces su número es exactamente el cuadrado de este producto.