Transformada de Fourier sin desaparecer$f \in C^\infty([-1,1])$: ¿siempre se ve como$\frac{\sin x}{x}$?

Question

Dada una superficie lisa y no de fuga real incluso, de la función $f \in C^\infty([-1,1])$ podemos calcular la transformada de Fourier (de su producto con el indicador de la unidad de intervalo): $$ \widehat f(\xi)=\int_{-1}^1 e^{i\xi x}f(x) \, dx. $$ Estoy trazando algunos ejemplos, y resulta que el comportamiento cualitativo de $\widehat f$ es similar a la de $\frac{\sin x}{x}$ (que corresponde a $f(x) = 1$):

$\hspace{11em}$

Es siempre el caso, o es posible encontrar una función de $f$ (liso, $f(x) \neq 0$ cualquier $x$, incluso) para que la transformada de Fourier $\widehat f$ será cualitativamente diferente? En particular, es posible encontrar tales $f$ que $\widehat f$ no tiene ceros en la línea real $\mathbb R$?

Más generalmente, si $f \in C^\infty(\overline B{}^d)$ donde $\overline B{}^d$ denota la unidad de bola en $\mathbb R^d$, $d \geq 2$, podemos poner $$ \widehat f(\xi)=\int_{\overline B{}^d} e^{i\xi x}f(x) \, dx. $$ Si $f$ es esféricamente simétrica (es decir, $f(x)=f_0(|x|)$ para algunos escalares $f_0$) y $f(x)>0$$\overline B{}^d$, podemos concluir que cualitativamente $\widehat f$ se comporta como $$ \widehat{ 1_{\overline B{}^d}}(\xi) = |\xi|^{-\frac{d}{2}} J_{\frac d 2}{|\xi|} \quad ? $$

Answer 1

Si $f \in C^\infty[-1,1]$ es aún no desapareciendo, seguimos $f$ por cero a$\mathbb R$, de modo que $$ f = f(1)1_{[-1,1]}+g, \quad f(1) \neq 0, $$ donde $g$ es de Lipschitz apoyado en $[-1,1]$. Por lo tanto, $$ \widehat f(\xi) = f(1) \tfrac{\sin(\xi)}{\xi}+\widehat g(\xi) = \xi^{-1}(f(1)\sin(\xi)+o(1)), \quad |\xi|\+\infty. $$ De ello se desprende que cualitativamente $\widehat f$ es siempre similar a $\frac{\sin(\xi)}{\xi}$. En particular, siempre hay un número infinito de real ceros y uno puede indicar su asintótica posiciones.

Por otro lado, no acabo de ver un directo de la generalización de la dimensión de $d \geq 2$. Como en el $d=1$ de los casos, podemos escribir $$ f = f(x_0) 1_{\overline B{}^d} + g, $$ donde $x_0 \in \partial \overline B{}^d$, e $g(x) = g_0(|x|)$ para algunos incluso de Lipschitz función escalar $g_0$ apoyado en $[-1,1]$. No veo si la transformada de Fourier de $g(x)$ decae más rápido que $|\xi|^{-\frac{d+1}{2}}$ o no.

Answer 2

Supongamos que$f$ es igual y$C^1$ on$[-1,1],$ con$f(x) = 0$

ps

Hemos utilizado el lemma de Riemann-Lebesgue para obtener el término$|x|>1.$.

Answer 3

No sé la respuesta de los ceros.

La transformada de Fourier de $f(x ) =(1-|x|) 1_{x \in [-1,1]}$ $2\frac{1-\cos(\omega)}{\omega^2}$ que es no negativo y tiene algunos ceros en $\pi/2+k\pi$,

lo que significa que la transformada de Fourier de transformar de $g(x) = f(x)+f(\pi x)$ es positivo.

$g$ sólo es continuo, no liso.

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$h(x) = e^{-1/(1-x^2)}$ es un ejemplo típico de una manera compacta, apoyado función suave $C^\infty_c$, lo que significa que es en el espacio de Schwartz y su transformada de Fourier (Schwartz significa lisa y disminuyendo rápidamente)

Answer 4

El Paley-Wiener teorema caracteriza transformadas de Fourier : si $f \in L^2([-1,1])$ es un cuadrado integrable función de apoyo en $[-1,1]$, entonces su transformada de Fourier $\hat{f}$ se extiende a un holomorphic de la función en $\mathbb{C}$ de tipo exponencial, lo que significa que existe una constante $C>0$ tal que

$$\hat{f}(z) \le C e^{|z|}$$

Y para todos los $y \in \mathbb{R}$, la función de $x \mapsto \hat{f}(x+i y)$ es de cuadrado integrable.

Por el contrario, cualquier función de $g$ que satisfaga las condiciones (holomorphic continuación, el crecimiento exponencial, la plaza de integrabilidad) es la transformada de Fourier de algunas de cuadrado integrable función de $f$.