Relación entre la dimensión de una variedad M y la dimensión del grupo de Lie G = Sym(M)

Question

¿Cuál es la relación entre la dimensión del espacio de la variedad de un grupo de Lie y la dimensión de la variedad que el grupo de Lie describe las simetrías de?

Por ejemplo, la dimensión de la esfera, S^2, es 2. Y la dimensión del grupo de Lie, SO(3), que describe las simetrías de la esfera, es 3.

¿Hay una relación general entre la dimensión de las dos variedades, es decir, la del espacio de la variedad de un grupo de Lie y la del espacio de la variedad en la que el grupo de Lie 'actúa'? Gracias.

Answer 1

Primero, un variedad por sí misma no tiene ningún conjunto natural de simetrías de dimensional finita. (Si permites ejemplos de dimensional infinita, entonces el grupo de difeomorfismos, o difeomorfismos que preservan la orientación funcionan. Puede haber otros ejemplos).

Ahora, si equipas tu variedad con una métrica riemanniana, entonces tiene un grupo de isometría. Basado en tu publicación, parece que esto es lo que quieres decir: cuando equipamos $S^2$ con su métrica estándar redonda, el grupo completo de isometría es $O(3)$ y el subgrupo que preserva la orientación es $SO(3)$ (no $SU(3)$, por cierto), el cual tiene dimensión $3$.

Pero hay otras métricas en la esfera. Por ejemplo, si la deformas en un elipsoide con sección transversal circular, entonces el grupo de simetría se reduce a $O(2)$, el cual tiene dimensión $1$. Además, una métrica "irregular" genérica no tiene simetrías en absoluto!

En general, el grupo de isometría $G$ respecto a una métrica riemanniana y la dimensión de la variedad sólo están remotamente relacionados. Por ejemplo, si $n = \dim M$, entonces siempre se tiene $0\leq \dim G\leq n + \frac{n(n-1)}{2}$, pero generalmente no se puede decir más que esto. (A grandes rasgos, el límite superior viene del hecho de que una isometría está determinada por dónde envía un punto ($n$ grados de libertad) y qué hace el diferencial en un punto ($n(n-1)/2$ grados de libertad - la capacidad de mover una base ortonormal a cualquier otra.)

Una cosa a tener en cuenta es que una perturbación genérica de cualquier métrica riemanniana tiene un grupo de isometría trivial. (Me encantaría una referencia para este resultado - para mí es un teorema "tradicional".)

Sin embargo, hay algunos hechos interesantes: Por ejemplo, si $\dim G = n + \frac{n(n-1)}{2}$, entonces $M$ debe ser isométrica a una esfera o a $\mathbb{R}P^n$ con sus métricas estándar. Hay algún otro resultado (que no recuerdo exactamente) que muestra que nunca obtendrás $\dim G = n + \frac{n(n-1)}{2} - 1$, excepto posiblemente para $n$ muy pequeños. Se pueden encontrar más detalles en el libro Introducción a los Grupos de Transformación Compactos de Bredon.

Answer 2

Otra forma de interpretar tu pregunta es que te estás refiriendo a las simetrías de una variedad como los grupos que actúan de forma transitiva sobre la variedad. Ahí tenemos un teorema que establece que si tenemos un grupo de Lie $G$ que actúa suave y transitivamente sobre una variedad suave $M$, entonces el cociente de $G$ con el estabilizador para algún punto $b\in M$ denotado como $H=\operatorname{Stab}_b(G)$ induce un difeomorfismo

$G /H \to M$ a través de $gH\mapsto gb$