Intersección transversal en un colector compacto

Question

¿Es cierto que si $M$ es un colector compacto y $X,Y$ son submanifolds de $M$ que se cruzan transversalmente que la intersección $X\cap Y$ está formado por un número finito de puntos?

Estoy tratando de entender una demostración del teorema del punto fijo de Lefschetz que, por lo que veo, hace un uso implícito de este hecho.

Mi impresión inmediata es que la respuesta es afirmativa porque, de lo contrario, ¿de qué sirve la compacidad aquí? Estoy intentando demostrarlo argumentando que si hubiera infinitos puntos de intersección entonces habría una cubierta abierta sin subcubierta finita y me quedo atascado. ¿Hay alguna forma mejor de proceder o el resultado es simplemente erróneo?

No necesito necesariamente una prueba completa; un sí o un no y si es así un empujón en la dirección correcta ya sería más que apreciado.

Answer 1

He aquí un ejemplo que satisface sus hipótesis: el manificio 2 $M = S^2 =$ la compactación de un punto de $\mathbb{R}^2$ y los submanifolds unidimensionales $X,Y \subset \mathbb{R}^2 \subset S^2$ dado por $X = \{(t,0) \,\, | \,\, t \in (0,1)\}$ y $Y = \{(t,\sin(1/t) \,\, | \,\, t \in (0,1)\}$ .