En la definición de dominio euclidiano

Question

Normalmente, un dominio Euclídeo se define como una integral de dominio en el que se admite una función definida en todos los distinto de cero elementos, cuyos valores en el conjunto de todos los enteros no negativos. Algún autor requiere la condición adicional de que se dice que por cada valor distinto de cero elementos $a$, $b$ el valor de la función en $ab$ es nada menos que la a $a$.

Se puede hacer uso de esas propiedades para demostrar que cada ED es un PID, y por el teorema que dice que el PID es UFD uno consigue que cada ED es un UFD.

A veces, es necesario demostrar ED es UFD sin el concepto de PID. Sin embargo, la parte más difícil parece ser que todos los elementos en ED puede ser escrito como una finito producto de irreducibles. Para mí, es inevitable pasar a través de PID argumento. Sin embargo, como la mayoría de ED función satisface, si tenemos que el valor de la función en un elemento distinto de cero es estrictamente mayor que en un buen divisor (sin unidad, no asociado), a continuación, típico de menos valor argumento establece que, en el dominio de todos los elementos que pueden ser tenidos en cuenta en irreducibles.

Mi pregunta es que hay alguna ED, que no admite ninguna ED función con la de arriba más fuerte de la propiedad.

Answer 1

Uy. No hay ningún tal ED porque podemos demostrar si una función euclidiana de una ED para cada distinto a cero $f$ $a$ y un divisor apropiado $d$, podemos demostrar que $f(d) < f(a)$.

Que $a=dq$. % Que $q$y $r$ ser tal que el $d=ka+r$, $r=0$% o $f(r)<f(a)$. Porque $d$ es un divisor apropiado, $r \neq 0$. Por lo tanto $f(a)>f(r) = f(d(1-kq)) \ge f(d)$, $k$ no es una unidad así $1 \neq kq$.