¿Es esta relación de amigos número transitiva?

Question

Pido dos números reales %#% amigos #%, si existe un % polinomio no constante entero $a,b$, que $p(x)$. La relación es evidentemente simétrica y reflexiva. ¿La relación también es transitivo?

(es decir, podemos afirmar para todos números $p(a)-p(b)=0$ que si existe un polinomio $a,b,c \in \mathbb R$ y $p_1(x) \in \mathbb Z[x]$ tal que $deg(p_1)>0$ y un polinomio $p_1(a)-p_1(b)=0$ y $p_2(x) \in \mathbb Z[x]$ tal que $deg(p_2)>0$, hace allí también existen % polinomio $p_2(b)-p_2(c)=0$y $p_3(x) \in \mathbb Z[x]$ tal que $deg(p_3)>0$)

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial. Implica un poco de la teoría algebraica de números: principalmente, utiliza las nociones algebraicas y trascendentales números. Cualquier número complejo es algebraicas y trascendentales; es algebraico si es la raíz para algún polinomio con coeficientes racionales, y trascendental de lo contrario.

Supongamos $a$ es un número algebraico. Si $a \sim b$ algunos $b$, $b$ también debe ser algebraicas: supongamos por contradicción que $b$ es trascendental. Si $P(a) = P(b)$ para algunos no constante$P \in \mathbb Z[X]$, $P(a)$ sería trascendental, ya que es un no-constante algebraica de la función de la trascendental $b$. Sin embargo, $P(a)$ es un elemento del campo de número de $\mathbb Q[a]$, y es, por lo tanto algebraicas; una contradicción. (Estoy utilizando propiedades básicas de aquí - usted puede buscar fácilmente si usted no está seguro acerca de ellos.)

Así que vamos a suponer que dos números de $a$ $b$ son algebraicas; dicen que satisfacer no constantes de polinomios en $\mathbb Q[X]$. Multiplicando a cabo denominadores de los coeficientes nos da polinomios $P, Q \in \mathbb Z[X]$. Multiplicar juntos: $A := PQ \in \mathbb Z[X]$. Ahora $A(a) = A(b)= 0$, lo $a \sim b$. Así que todos los números algebraicos están relacionados de esta manera, y no están relacionados con ningún trascendental números.

La pregunta sigue siendo si trascendental números (como $\pi$) están relacionados con cualquier cosa, además de a sí mismos. Yo no podía entenderlo fácilmente, y después de algunas investigaciones, me enteré de que parece ser un problema abierto si o no (dado) trascendental números son "algebraicamente independientes", es decir, si o no usted puede escribir en términos de la otra, por así decirlo. Por supuesto, uno podría asumir que para algunos distinta trascendental $a$$b$, $P(a) = P(b)$ y argumentar a partir de ahí, pero si no sabemos si tal $P$ aún existe, puede ser un esfuerzo en vano.

Una observación final: terminamos con una sola clase de equivalencia que contiene los números algebraicos, que es un poco aburrido. El argumento que he utilizado no funciona si usted requiere de los polinomios sobre $\mathbb Z$ a monic (porque estamos multiplicando a cabo los denominadores de los coeficientes en $P$$Q$). Tal vez esto es una cosa interesante para mirar siguiente.

Answer 2

Tal vez un mal la respuesta, no sé todavía:

Permite decir que tenemos $p(a)-p(b)=0$, entonces el $p(a)=p(b)=u$. Mira el nuevo polinomio $q(x)$, que ahora se piensa como de $C[x]$, debe factor:

$$q(x)=p(x)-u=(x-a)(x-b)...$$

Ahora para dos polinomios $p_1,p_2$ y tres valores $a,b,c,..$ tenemos:

$$q_1(x)=p_1(x)-u_1=(x-a) (x-b) ...$$

$$q_2(x)=p_2(x)-u_2=(x-b) (x-c) ...$$

Podemos tomar el siguiente polinomio:

$$q_3(x)= q_1(x)\,q_2(x) = (x-a) (x-b)^2 (x-c) ...$$

Ahora un % arbitrario $v$, un polinomio $p_3(x)=q_3(x)+v$ hace el trabajo. Problema que tengo, está demostrando que podemos mantenernos en $p_3(x) \in Z[x]$. ¿Podemos?