Límite cuando x tiende a infinito de un producto de dos funciones donde una es una integral y la otra tiende a 0

Question

¿Alguna pista sobre la mejor manera de abordar este problema?

$$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x} \int_{1}^{x} \dfrac{t^3}{1+t^3} dt$$

El primer punto de confusión para mí es que $\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$ como $ x \rightarrow +\infty$ por lo que evaluando el límite para $\dfrac{1}{x}$ y la integral por separado y multiplicando después sus límites debería dar como resultado $0$ pero sospecho que se trata de una solución demasiado simple que debe ser errónea.

En segundo lugar, mi corazonada es que para evaluar el límite de la integral podría encontrar una función con un área menor que $\dfrac{t^3}{1+t^3}$ en el intervalo indicado y demostrar que el límite tiende a $\infty$ y esto sería suficiente para demostrar que $\dfrac{t^3}{1+t^3}$ también debe tender a $\infty$ ya que tiene una superficie mayor. ¿Es este el enfoque correcto y alguna pista en cuanto a cómo podría encontrar una función con menor área que puedo mostrar tiende a $\infty$ ?

Answer 1

$$\frac{1}{x}\int_{1}^{x}\frac{t^3}{1+t^3}\,dt = \frac{x-1}{x}-\frac{1}{x}\int_{1}^{x}\frac{dt}{1+t^3} = \color{red}{1}+O\left(\frac{1}{x}\right)\quad \text{as }x\to +\infty$$ desde $f(t)=\frac{1}{1+t^3}$ es una función positiva en $L^1(\mathbb{R}^+)$ .
No hay necesidad de la regla de l'Hopital o de cosas más sutiles, las desigualdades simples hacen el trabajo muy bien.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \frac{t^3}{1+t^3} > \frac{1}{2} \quad \text{for } t > 1, $$ tenemos claramente $$ \int_{1}^{x} \dfrac{t^3}{1+t^3} dt \to \infty \quad \text{as } x \to \infty, $$ Así que tienes $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\int_{1}^{x} \frac{t^3}{1+t^3} dt}{x} $$ donde arriba y abajo son ambos infinitos y se aplica la Regla de L'Hospital. A continuación, utilice el Teorema Fundamental del Cálculo para la parte superior ...