Inyecciones y Surjections

Question

Por favor, examine el siguiente Teorema y el acompañamiento de la prueba. Entiendo la idea detrás de la prueba, sólo estoy preocupado por que yo no lo podría haber dicho en las palabras correctas.

Es el argumento correcto? Si es así puede que la escritura hasta ser mejorado?

Dado que el $f:A\to B$ y $g:B\to C$. Probar que si $f$ no es en y $g$ es uno-a-uno, a continuación, $g\circ f$ no es sobre.

Prueba. Suponga que $f$ no está en, $g$ es uno-a-uno y $g\circ f$ es sobre. Desde $f$ no es sobre lo que sigue es que para algunos $x\in B$ es el que caso de que $$\forall a\in A(f(a)\neq x)\ (1)$$ Desde $g:B\to C$ debe ser que para algunos $c\in C$, $g(x)=c$ y desde $g$ es uno-a-uno, $$\forall y\in B(g(y)=c\implies y=x)\ (2)$$ Desde $g\circ f$ es sobre lo que sigue es que para algunos $z\in A$, $g(f(z))=c$ pero esto implica la existencia de algunos $\alpha\in B$ tal que $(z,\alpha)\in f$ $(\alpha,c)\in g$ pero $g(\alpha)=c$ $(2)$ implica que el $\alpha=x$ pero $(1)$ sugiere que ningún elemento en $A$ tiene una imagen $x$ bajo $f$ por lo tanto no hay tal $\alpha$ existe en consecuencia $$\neg\exists a\in A(g(f(a))=c)$$ contradicting the assumption that $g\circ f$ es en.

$\blacksquare$

Answer 1

Sí, es correcto, pero debe evitar el uso de la palabra "sugiere". Parece que sólo va a proporcionar una idea de una prueba.

Answer 2

La prueba es correcta. Por otra parte puede evitar contradicción, probando el contrapositive.

Proposición. Dado el % de mapas $f\colon A\to B$y $g\colon B\to C$, si es uno a uno $g$ y $g\circ f$ a, entonces $f$ es a.

Prueba. Que $b\in B$. $g\circ f$ Es sobre, existe $a\in A$ tal que $$ g (b) = g\circ f(a)=g(f(a)) $$ así $b=f(a)$ ya $g$ es uno a uno. Por lo tanto $f$ es onto.$\quad\square$

Answer 3

La prueba está bien escrito y es correcta.

Le sugiero que evite escribir $(z,\alpha)\in f$, sin embargo, porque ya el uso de la notación de $f(z)=\alpha$, y la mezcla de los dos notaciones hace todo mucho más difícil de leer.

De hecho, el último párrafo completo puede ser escrito de una manera más limpia:

Suponga que $g\circ f$ es sobre. Entonces existe algún $z$ tal que $(g\circ f)(z)=c$. Sin embargo, debido a $(g\circ f)(z)=g(f(z))$, ahora sabemos $g(f(z))=c$. Definir $\alpha=f(z)$, por lo $g(\alpha)=c=g(x)$.

De $(2)$, podemos concluir que $\alpha = x$, y debido a $\alpha=f(z)$, llegamos a la conclusión de que $f(z)=x$. Esto se contradice con $(1)$. Por lo tanto, la hipótesis original era incorrecta.

Conclusión: $g\circ f$ no es sobre.