¿Es la identidad la única función $f$ en línea verdadera satisfacción $ f(x +f(y) + yf(x)) = y +f(x) + xf(y) ,\forall x,y \in \mathbb R$?

Question

Deje $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ser una función tal que $ f(x +f(y) + yf(x)) = y +f(x) + xf(y) ,\forall x,y \in \mathbb R$ , entonces es cierto que $f(x)=x,\forall x \in \mathbb R$ ? Si no es cierto en general , entonces ¿qué sucede si también asumimos $f$ es bijective , o dicen continua ?

Más $\mathbb C$ , $f(z)=\bar z$ es un bijective continua , la no-identidad de la solución . Más de $\mathbb R$ me puede demostrar que bajo la suposición más $\{f(x)/x : x\ne 0\}$ es contable, debemos tener $f$ es la identidad . Solo con esta funcional de la ecuación , que puede mostrar que si $f(x_0)=0$ algunos $x_0 $ a continuación,$x_0=0$ , y, a continuación, $f(f(x))=x,\forall x \in \mathbb R$ es decir $f$ es bijective . Pero no puedo averiguar nada más

Por favor, ayudar . Gracias de antemano

Answer 1

Si asumimos la continuidad, entonces la función identidad es la única posibilidad.

Por Carl Schildkraut del argumento en los comentarios, $f$ es una involución y así, en particular, un bijection. Entonces, si asumimos la continuidad, debe ser monótona creciente o montonically disminuyendo.

Si es monótonamente creciente, el hecho de que es una involución de inmediato a las fuerzas de la identidad (en caso contrario, recogiendo algunos $x$$f(x)\ne x$, tendría que disminuir entre el$x$$f(x)$). Mientras que si es monótonamente decreciente, esto significa que se puede tener a lo más un punto fijo (de lo contrario, tendría que aumentar entre los dos puntos fijos).

Como señaló Hagen von Eitzen, el cero es un punto fijo. Pero también, para cualquier $x$, $x+f(x)+xf(x)$ es un punto fijo, y por lo $x+f(x)+xf(x)=0$. De problemas, tenemos que, mientras $x\ne -1$,$f(x)=-\frac{x}{x+1}$.

Desde $f$ es una involución en $\mathbb{R}$, mientras que el $x\mapsto -\frac{x}{x+1}$ es una involución en $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, por lo tanto debe tener $f(-1)=-1$. Pero este es un segundo punto fijo, que es imposible. (También se pueden conectar otros valores de $x$ $y$ a comprobar que, incluso ignorando $-1$, esta fórmula no satisface el original funcional de la ecuación; por ejemplo, trate de $x=1$, $y=2$.)

Edit: O supongo que una manera más sencilla es la nota que $-\frac{x}{x+1}$ no es monótonamente decreciente, si se compara una debajo de la entrada $-1$ a uno por encima de $-1$! Ni es la función que se obtiene por la adición de en $f(-1)=-1$ continua...