Número medio de formas para expresar el número como una suma de cuadrados de $n$ va a cero, ¿por qué?

Question

Así que hace poco me topé con esta hermosa problema:

Muestran que el número de $r_2(n)$ de las representaciones de la $n$ como una suma de dos cuadrados (de no neccesarily enteros positivos) ha $\pi$ como media aritmética, que es $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n r_2(i) = \pi$$

Ahora la prueba de los comentarios que cada punto de la unidad de dos dimensiones entero entramado $(x, y)$ es la solución a la ecuación de $x^2+y^2=n$ algunos $n$, y luego, si nos fijamos en todo el entramado punto satisfyting $x^2+y^2 \leq n$ podemos enlazado esta cantidad por el área de un círculo (con un radio de alrededor de $\sqrt{n}$), y por lo tanto obtener el resultado. (Esta es una idea aproximada de la prueba, no es preciso)

Ahora podemos extender esto a la función de $r_k(n)$ que cuenta el número de maneras de expresar $n$ como la suma de $k$ plazas. Ahora, simplemente tomamos el $k$ dimensiones de celosía y obligado por $k$-esferas, y obtener el promedio como $k$-volumen de la unidad de $k$-esfera. Esta cantidad está dada por: $$\frac{\pi^{\frac{k}{2}}}{\Gamma(1+\frac{k}{2})}$$ donde $\Gamma(n)$ es la función gamma.

Ahora lo interesante de esto es que el promedio tiende a cero a medida que la dimensión crece hasta el infinito. Por otro lado, es bien sabido que cualquier número natural se puede expresar como la suma de cuatro cuadrados.

Ahora desde nuestra definición de $r_k(n)$ cuenta todas las formas de ganancia $n$, incluyendo aquellos que permiten a $0^2$ como uno de los sumandos (supongo que esto es cierto ya que en nuestro entramado de conteo de prueba se incluyen todos los latice puntos, incluidos aquellos que tienen uno o más coordenadas cero), entonces sería el caso de que las soluciones obtenidas para los más pequeños de la dimensión de ser válida en una dimensión superior (mediante el establecimiento de las coordenadas a cero). De modo que podemos esperar que cada número puede ser expresado en al menos un camino para que todos los $k\geq4$, lo $r_k(n)\geq1$ todos los $n$.

Sin embargo, esto significaría que el promedio debe ser de al menos uno para todas las dimensiones superiores, pero esto contradice que el volumen que se va a cero. ¿Por qué es esto? ¿Hay alguna explicación intuitiva?

Tengo la sensación de que el infinito de la naturaleza de la media es, probablemente, de alguna manera engañosa y mi habitual de la intuición de que se puede aplicar a lo finito de los promedios. He tratado de pensar en el límite también como un asintótica obligado de $\sum r_k(n)$ en términos de $c\cdot n$, pero eso no ayuda tampoco. También hay una posibilidad de que exista algún defecto en mi prueba (bueno, la idea de la prueba, tal como se presenta aquí). Tal vez no es el volumen que yo debería estar mirando?

Answer 1

Vamos a llamar a $c_{n,k}$ el número de celosía puntos contenidos en el interior de un hypersphere de radio $n$ y dimensión $k$. Luego, utilizando el volumen de la esfera, obtenemos la aproximación:

$$ c_{n,k} \approx n^{k/2} \frac{\pi^{\frac{k}{2}}}{\Gamma(1+\frac{k}{2})} \tag{1}$$

Pero luego, a continuación, llamar a $r_k(i)$ el de maneras de escribir el número de $i$ como una suma de $k$ plazas, su promedio es:

$$ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^n r_k(i) =\frac1n c_{n,k} \approx \ n^{k/2-1} \frac{\pi^{\frac{k}{2}}}{\Gamma(1+\frac{k}{2})} \tag{2}$$

Para $k=2$ esto le da una constante ($\pi$). Pero para cualquier otro fijo $k>2$ crece hacia el infinito como $n\to \infty$. Por lo tanto, no es ninguna paradoja.

Pero, usted podría preguntar: ¿y si nos corregir algunos de los (grandes) $n$, y hacer $k$ crecer? No puede ser, de hecho, una paradoja, que se puede afirmar en términos más simples - refiriéndonos sólo a la cuenta de cerrado de celosía puntos.

Si nos fiamos de la fórmula $(1)$ anterior, obtenemos $$\lim_{k \to \infty} c_{n,k}= 0 \tag{3}$$

Por otro lado, $c_{n,k}$ debería aumentar con $k$, debido a que el $k+1$ dimensiones de celosía puntos incluyen los de la dimensión de $k$. Es decir, debe tener

$$c_{n,k+1} > c_{n,k} \tag{4} $$

Pero $(3)$ $(4)$ no pueden ser ambos verdaderos.

El problema es que la fórmula de $(1)$ es una aproximación, que sólo es válido para un gran $n$ ... donde los "grandes" depende de $k$. Si seguimos $n$ fijo y aumentar el $k$ indefinidamente, entonces la mayoría de los puntos de la rejilla caída cerca de la frontera de la esfera (la maldición de la dimensionalidad), y la aproximación vueltas inútiles (algunos detalles aquí).

Por lo tanto, $(3)$ está definitivamente mal.

De hecho, podemos comprobar que la RHS de $(1)$ comienza a disminuir (y por lo tanto está siendo manifiestamente inexacta) alrededor de $k=2\pi n$. Aquí hay un gráfico de la exacta y aproximada de los valores (ambos lados de la ecuación. $(1)$, escala logarítmica) por $n=10$.