Área infinita bajo curva sin necesidad de utilizar derivados e integrales

Question

Estoy buscando una función de $f$ con las siguientes propiedades:

• $f$ es continua en a $[0,\infty[$
• $f(0)=1$
• $f(x)\to0$ $x\to\infty$
• $\int_0^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x = \infty$

No es difícil encontrar un ejemplo de una función, por ejemplo, $f(x) = 1/(x+1)$ lo haría. Sin embargo, estoy buscando un ejemplo donde yo puedo "prueba" de que el área bajo la curva (es decir,$\int_0^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x $) tiende a infinito para $x \to \infty$ para un público que no sabe de cómo integrar o diferenciar las funciones.

Así, un "visual" prueba sería suficiente.

Answer 1

Puede utilizar la función $1/(x+1)$ y dibujar infinitamente muchos rectángulos (teóricamente, por supuesto) de área $1/2$ bajo la curva.

Cada rectángulo debe tener doble ancho y la mitad de altura de la anterior uno.

Algo como esto:

Answer 2

Comience con el trapezoide $T_0$ % de vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,{1\over2})$, $(0,1)$. Tiene área de ${3\over4}$. $T_0$ Verticalmente por el factor ${1\over2}$ del encogimiento y extender horizontalmente por el factor $2$ $T_1$ (de la misma zona como $T_0$), y poner $T_1$ rasante a la derecha del $T_0$. $T_1$ Verticalmente por el factor ${1\over2}$ del encogimiento y extender horizontalmente por el factor $2$ $T_2$, y poner $T_2$ rasante a la derecha del $T_1$, y así sucesivamente ad infinitum.