Regla de multiplicación de números racionales

Question

La regla para multiplicar números racionales es la siguiente:

$\space\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

¿Puede demostrarse la regla o hay que darla por supuesta?

Editar: Dónde $b\neq 0$ y $d\neq 0$ .

Answer 1

Uno sabe que $a/b$ puede definirse como el número $x$ tal que $bx=a$ y que $c/d$ puede definirse como el número $y$ tal que $dy=c$ .

Si se desea que la multiplicación sobre estos objetos sea asociativa y conmutativa como lo es sobre los enteros, se debe pedir que $ac=(bx)(dy)=(bd)(xy)$ de ahí que el objeto $xy$ se ajusta a la definición de $(ac)/(bd)$ .

Answer 2

$$\rm x\: =\: \dfrac{a}b,\ \ y\: =\: \dfrac{c}d\ \ \Rightarrow\ \ b\ x\: =\: a,\:\ d\ y\: =\: c\ \ \Rightarrow\ \ b\:d\ x\:y\: =\: a\:c\ \ \Rightarrow\ \ x\:y\: =\: \dfrac{a\:c}{b\:d}$$

Answer 3

Se da más o menos por hecho. Se ajusta a la intuición y la construcción de los números racionales (que contiene la definición de esta multiplicación) se generalizó a anillos conmutativos arbitrarios (+ la elección de un subconjunto multiplicativo). Esta construcción se denomina localización (véase wikipedia).

Answer 4

Un enfoque para hacerlo más claro podría ser separar cada racional en un producto de sus partes, es decir. $\frac {a}{b}= \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{b}$ y $\frac {c}{d}= \frac{c}{1} \cdot \frac{1}{d}$ a continuación, utilice la propiedad conmutativa para agrupar las fracciones del "numerador" y las fracciones del "denominador" por separado: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=(\frac{a}{1} \cdot \frac{c}{1})\cdot (\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{d})=\frac{ac}{1}\cdot\frac{1}{bd}=\frac{ac}{bd}$ .

Answer 5

Como los racionales son un campo, es un hecho. Un campo tiene propiedades asociativas definidas sobre él.