De un post en SE, se dice $3^2+4^2=5^2,3^3+4^3+5^3=6^3$ Así que empiezo a explorar más a fondo, la ecuación general es
$\sum_{k=1}^n (x-1+k)^n=(x+n)^n$ ,
de $n \ge 4$ a $n=41$ no existe una solución entera para $x$ .
para $n>41$ no puedo obtener resultados ya que Walframalpha no funciona.
Dudo que exista una solución entera para $n \ge 4$ cuando $n$ es mayor, el $x$ está cerca de $\dfrac{n}{2}$ .
¿Alguien puede tener una respuesta? ¡Gracias!
Su problema ha sido estudiado, y se conjetura que sólo $3,4,5$ para las plazas y $3,4,5,6$ para los cubos son tales que todos los números son consecutivos, y el $k$ potencia del último es la suma de los $k$ los poderes de los otros ( $k>1$ ).
He pasado un lote de tiempo en esta cuestión, y no es de extrañar que no haya conseguido nada definitivo en una prueba, ya que aparentemente nadie más ha conseguido demostrarlo.
El sitio web lo llama "el último teorema de Cipriano", argumentando que parece muy probable que sea cierto, pero nadie lo ha demostrado todavía, como ocurrió con Fermat durante tantos años.
La referencia de la página que encontré:
http://www.nugae.com/mathematics/cyprian.htm
Es posible que haya otros enlaces para obtener más ideas...
Aquí se argumenta que no hay soluciones cuando $x$ es positivo y $n$ y $x$ son lo suficientemente grandes. No sé exactamente qué significa "suficientemente grande". Estoy haciendo esta respuesta en la wiki de la comunidad; tal vez otros puedan mejorarla. $$ (\sum_{k=x}^{x+n-1} k^n) - (x+n)^n \geq \int_x^{x+n-1} t^n dt - (x+n)^n = \frac{1}{n+1}(x^{x+n-1} - x^{n+1}) - (x+n)^n, $$ que es mayor que cero si $x$ y $n$ son lo suficientemente grandes. (Ten en cuenta que he escrito tu suma inicial de forma un poco diferente a la tuya).
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