Si $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=S $, entonces el $ a_4+a_3+a_2+a_1+a_8+a_7+a_6+a_5+\dots=?$

Question

Si sabemos que $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=S$, ¿qué podemos decir acerca de la convergencia de $$a_4+a_3+a_2+a_1+a_8+a_7+a_6+a_5+a_{12}+a_{11}+a_{10}+a_{9}+\dots$ $?

Si converge, ¿cuál es la suma (en términos de $S$)?

Según la primera pregunta - converge claramente puesto que el número de términos en cada paréntesis es limitado (por 4) y el $(a_n)_{n=1}^\infty$ tiende a cero como $n\to\infty$.

Segunda pregunta es que estoy luchando. No sabemos que $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ converge absolutamente así que no sé qué decir sobre la suma.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Creo que Cameron está a la derecha. En particular, la diferencia de $|S_n-T_n|$ está delimitado por $|a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}|$ y por lo tanto tiene para acercarse a cero.

El problema de la serie no es absolutamente convergente es que usted no puede hacer arbitraria reordenamiento de los términos. Sin embargo, en general, el reordenamiento que causa la suma de una serie convergente para el cambio no puede "limitado", lo que significa que no hay ningún uniforme límite superior en el número de turnos que se aplica a cada término de la serie original (es decir, no se puede decir "cada término se trasladó a la mayoría por $M$ términos").

En efecto, si cada término de la secuencia es desplazado a la mayoría de los $M$ términos, se puede demostrar que la diferencia entre las sumas parciales de la nueva y original serie está limitada por

$$|T_n-S_n|\leq\sum_{n-M}^{n-1}|a_n|$$

que claramente converge a cero, si el original de la serie es convergente.

Answer 2

Realmente debería ser $S$, demasiado. Considerar las respectivas secuencias de sumas parciales, $S_n,T_n$ y ver que $|S_n-T_n|$ converge a $0$.