Caracterización simple de enteros entre grupos abelianos

Question

Esto es parte de un ejercicio temprano en Freyd del abelian categorías. Deje $\mathscr{G}$ ser la categoría de abelian grupos. El grupo de los enteros se distingue, hasta el isomorfismo, por los hechos de que:

1. Para cada $A\in\mathscr{G}$ que no es un cero de objeto, Hom$(\mathbb{Z},A)$ tiene más de un elemento.
2. Si $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ es tal que $f^2 = f$, entonces cualquiera de las $f$ es la identidad de la o es un cero mapa.

Estoy tratando de demostrar que si $A\in\mathscr{G}$ satisface estas dos propiedades, entonces es isomorfo a $\mathbb{Z}$. De la condición (1), tengo dos trivial mapas de $\alpha: A\rightarrow\mathbb{Z}$$\zeta:\mathbb{Z}\rightarrow A$. La composición de la $\alpha\circ\zeta:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ es también trivial lo es necesariamente una incrustación por lo tanto $\zeta$ es inyectiva. La próxima, ya que la imagen de $\alpha$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}$, es cíclico, generados por $n$, dicen. Post-componer $\alpha$ con el mapa de $p\mapsto\frac{p}{n}$ me permite suponer que $\alpha$ surjects.

En este momento estoy atascado. Necesito usar la propiedad (2), pero no veo cómo.

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo abelian la satisfacción de las dos propiedades. Entonces no es un valor distinto de cero homomorphism $\phi: G \rightarrow \mathbb{Z}$. La imagen de $G$ es un subgrupo distinto de cero de a $\mathbb{Z}$, decir $n\mathbb{Z}$$n \geq 1$. Así como usted dice, podemos elegir ser $\phi$ surjective. Así que hay una secuencia exacta de abelian grupos $$0 \rightarrow \textrm{Ker } \phi \rightarrow G \xrightarrow{\phi} \mathbb{Z} \rightarrow 0$$ Now $\mathbb{Z}$ is a free $\mathbb{Z}$-module, so any exact sequence with $\mathbb{Z}$ on the right splits. So there is a homomorphism $\iota: \mathbb{Z} \rightarrow G$ such that $\phi \circ \iota = 1_{\mathbb{Z}}$. But then $$(\iota \circ \phi)^2 = \iota \circ \phi \circ \iota \circ \phi = \iota \circ 1_{\mathbb{Z}} \circ \phi = \iota \circ \phi$$ so either $\iota \circ \phi = 1_G$ or $\iota \circ \phi = 0$. But we can't have $\iota \circ \phi = 0$.