Creo que me acaba de responder a mi propia pregunta. No, esto no es cierto. Una respuesta positiva a mi pregunta implica, en particular, que los dos abelian extensiones $L/K$ $L'/K$ con el mismo director $\mathcal{C}$ son idénticas. Sin embargo, este no es necesariamente el caso.
Por ejemplo, cuando se $K=\mathbb{Q}$, e $L/\mathbb{Q}$ es abelian, y $m$ es el menor entero positivo tal que $L\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{m})$ donde $\zeta_m$ es una primitiva $m$th raíz de la unidad, a continuación, el director de orquesta $\mathcal{C}=C(L/\mathbb{Q})$ está dado por la fórmula
$$C(L/\mathbb{Q})=\begin{cases}
m & \text{ if } L\subseteq \mathbb{R},\\
m\infty & \text{ otherwise}.
\end{casos}$$
Ahora tomemos, por ejemplo, $m=31$, y deje $L_3$$L_5$, respectivamente, a la única de las extensiones de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}(\zeta_{31})$ grado $3$$5$. Entonces, por el conductor de fórmula, el director de la $L_3$$L_5$$(31)$, debido a que todos sus incrustaciones son reales, y $L_3\not\subseteq L_5$$L_5\not\subseteq L_3$.
Nota, sin embargo, que una dirección es cierto: si $L/K$ $L'/K$ son abelian extensiones que $K\subseteq L'\subseteq L$, $\mathcal{C}'=C(L'/K)$ es un divisor de a $\mathcal{C}=C(L/K)$. Para mostrar esto, es útil recordar que el director de una abelian extensión de $F/K$ es el máximo común divisor de todos los módulos de $m$ tal que $F\subseteq K_m$ donde $K_m$ es el rayo de campo de clase de modulo $m$. En particular,$L\subseteq K_{\mathcal{C}}$, y si $L'\subseteq L$,$L'\subseteq K_{\mathcal{C}}$. De esto se sigue que $\mathcal{C}'=C(L'/K)$ es un divisor de a $\mathcal{C}$.
