Pregunta número de la bobina.

Question

En la clase que hemos definido de la liquidación número de la siguiente manera: Si $\gamma$ es un bucle en $\mathbb{R}^2$ que no pase a través de un punto de $p$, la liquidación número $W( \gamma, p)$ es un número entero $n$ que $\gamma$ es $n$ los tiempos de la canónica de generador en el grupo fundamental de la $\pi_1(\mathbb{R}^2\setminus \{p\})$. Esencialmente, es considerado como el número de vueltas $\gamma$ sobre $p$.

He estado trabajando en los problemas de mejorar mi comprensión de este tema. No puedo entender a esta, y preguntaba si alguien me podría ayudar?

Deje $p$ $q$ ser distintos puntos en el plano y $X = \mathbb{R}^2 \setminus \{p, q\}$. Si $\gamma$ es un bucle en $X$ tal que $W(\gamma, p) = W(\gamma, q) = 0$, no se sigue que la $\gamma$ representa el trivial de los elementos del grupo fundamental de la $\pi_1(X)$?

Muchas gracias!

Answer 1

Fijar un basepoint $x_0\in X$. Que $\gamma_p$ ser un bucle $x_0$ va alrededor de $p$ exactamente una vez, y $q$ cero veces. Del mismo modo, que $\gamma_q$ ser un bucle en pasar $x_0$ $q$ exactamente una vez y $p$ cero veces. Entonces si para una ruta de acceso $\gamma$, $\gamma^{-1}$ significa atravesar $\gamma$ hacia atrás, considerar el % de bucle $\gamma=\gamma_p\gamma_q\gamma_p^{-1}\gamma_q^{-1}$. Su clase de equivalencia es no trivial en $\pi_1(X)$ pero tiene $W(\gamma,p)=W(\gamma,q)=0$.

Answer 2

Desde el punto de vista analítico. Usted puede demostrar que cualquier curva de un plano perforado es homotópicas a una por trozos curva lineal (Conecte los puntos + continuidad uniforme). Entonces, del análisis complejo tenemos %#% $ #% si $$W(\gamma, P) = {1\over 2 \pi i}\int_{\gamma} {dz\over z - P}.$ es una curva rectificable. Si $\gamma$, entonces el $W(\gamma, P) = n$ es homotópicas a una curva circular de la bobina sobre el punto $\gamma$ $P$ "órbitas".