Límite

Question

Alfa Wolfram dice que este límite (derivadas de una prueba de cociente para determinar el radio de convergencia de una serie) debe ser $4/e$. ¿Cómo obtiene este resultado?

Answer 1

Observe que $$\frac{2n+1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1}.$ $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \dfrac{(2n+1)(2n+2) n^n}{(n+1)(n+1)^{n+1}} &=& \lim_{n \to \infty} \left(2-\frac{1}{n+1}\right)\dfrac{2(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} \\ &=& \lim_{n \to \infty} \left(2-\frac{1}{n+1}\right)\dfrac{2n^n/n^n}{(n+1)^{n}/n^n} \\ &=&\lim_{n \to \infty} \left(2-\frac{1}{n+1}\right)\dfrac{2}{(1+\frac1n)^n} \\ &=& \frac{4}{e} \end{eqnarray *}