Para compactar los espacios de la noción de cuasi-isometría es bastante sentido: simplemente tome $A$ más grande que el diámetro de ambos $X$$Y$, así que voy a suponer que usted no desea que esta respuesta...
Estoy acostumbrado a la convención de que la palabra métrica $d_S$ se obtiene a partir de la longitud de la palabra
$$
\ell_S (x) = \min\left\{n \in \mathbb{N}\,:\, x= s_{1}\cdots s_n \text{ para algunos } s_{1},\ldots,s_n \S^{\pm1}\right\}
$$
(lo que permite al vacío producto, por lo que el $\ell_S(e) = 0$) mediante el establecimiento $d_S(x,y) = \ell_S(x^{-1}y)$, pero hay algunas variaciones que necesitan algunas modificaciones de lo que yo estoy diciendo aquí, pero nada esencial.
El subadditivity propiedad $\ell_{S}(xy) \leq \ell_{S}(x) + \ell_{S}(y)$ de la longitud de la función $\ell_S$ es responsable de la desigualdad de triángulo de $d_S$.
Deje $C' = \max\left\{\ell_{S}(s')\,:\,s' \in (S')^{\pm 1}\right\} \geq 1$. Luego se sigue a partir de las definiciones y subadditivity que $\ell_{S}(x) \leq C'\ell_{S'}(x)$, lo $d_S(x,y) \leq C'd_{S'}(x,y)$.
Simétricamente $\ell_{S'}(x) \leq C \ell_{S}(x)$, lo $d_{S'}(x,y) \leq Cd_{S}(x,y)$, lo que significa que
$$
\frac{1}{C} d_{S}(x,y) \leq d_{S}(x,y) \leq Cd_{S}(x,y),
$$
de modo que el mapa de identidad $(G,d_{S}) \to (G,d_{S'})$ es un cuasi-isometría (de hecho, un bi-Lipschitz mapa) con constantes de $L = \max\{C,C'\}$$A = 0$.
Si por el contrario estás interesado en los grafos de Cayley de a $G$ con respecto al $S$$S'$, usted puede tomar $A = 1$ e la misma $L$ anterior.
También, fíjate que yo no uso ese $G$ es finito, por lo que el $(G,d_S)$ es compacto), sólo que la generación de conjuntos de $S$ $S'$ son finitos. Por la razón que he mencionado al principio de mi respuesta, la compacidad generalmente no se incluyen en la definición de cuasi-isometrías, y es común que requieren $L \geq 1$ y permitirle $A = 0$.
