Cómo probar $|f(x) - f(y)| < |x - y|$ si $f(x) = x + 1/x$ donde $x > 1$

Question

He intentado lo siguiente: $|f(x) - f(y)| = |x + 1/x - y - 1/y|$

$\leq |x - y| + |1/x - 1/y|$

Pulsado aquí. Cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $x,y>1$. Si $x=y$ entonces ambos lados son 0 en la desigualdad, así que supongo que $x\ne y$.

Decir que $x>y$. Entonces $f(x)-f(y)=(x-y)+(1/x-1/y)=\displaystyle (x-y)(1-\frac1{xy})$. Ahora, la fracción $1/(xy)$ es positiva, pero estrictamente menor que 1, $1<x,y$. Entonces el producto es claramente positivo pero estrictamente menor que $x-y$.

Del mismo modo, si $y>x$, obtenemos $0<f(y)-f(x)=\displaystyle(y-x)(1-\frac1{xy})<y-x$.

Answer 2

Utilizar el teorema del valor medio. Ver ejemplo 3.4 en http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/contractionshort.pdf.