Problemas utilizando vectores propios para resolver ecuaciones diferenciales

Question

La pregunta a resolver $$\frac{dx}{dy} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -1 & 1\\ \end{pmatrix}x$$ ,where $$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}$$

Me adelanté un encontrar el determinante de la matriz de $$|A - I\lambda| = \lambda^2 - 4\lambda + 9$$ Y encontré $\lambda = 3$

A continuación, el $\alpha$ matrices se ha encontrado para ser

$$\begin{pmatrix} 5 & 4\\ -1 & 1\\ \end{pmatrix} \alpha = 3\alpha$$ where $$\alpha = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \end{pmatrix}$$

En última instancia, $-\alpha_1 = 2\alpha_2$ por lo que escribir $$\alpha = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$$

Entonces, debido a $\lambda$ es la repetición de una raíz sé que la solución debería ser algo como esto:

$$x = c_1\alpha e^{\lambda t} + c_2( \alpha t + \beta) e^{\lambda t}t$$

Y entonces aquí es donde se pone difícil para mí. Sé que encontrar la $\beta$ matriz para calcular esto:

$$(A - I\lambda)\beta = \alpha$$

Ahora, cuando me multiplicar todos los que puedo conseguir

$$2\beta_1 + 4\beta_2 = -1$$ $$\beta_1 + 2\beta_2 = -2$$

Este es el sistema de ecuaciones que parece que no puede resolver para obtener un adecuado $\beta$. Una opción que tengo es la de hacer $$\beta = \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ \end{pmatrix}$$

Pero esto no funciona para el segundo sistema de ecuaciones. Ayuda por favor.

Answer 1

El polinomio característico es:

$$|A - \lambda I| = 0 \rightarrow \lambda^2-6 \lambda+9 = 0 \rightarrow \lambda_{1,2} = 3$$

Sustituyendo en el primer autovalor para encontrar el primer vector propio:

$$[A - \lambda I]v_1 = 0 \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 4 \\-1 & -2\\\end{pmatrix}v_1 = 0$$

Después de RREF, para que el primer vector propio, que yo hubiera elegido:

$$a + 2b = 0 \rightarrow b = 1 \rightarrow a = -2$$

Así, el primer autovector es $v_1 = (-2, 1)$.

Ya tenemos en la repetición de una autovalor, necesitamos un autovector generalizado y se hizo con el enfoque adecuado, tenemos:

$$[A - \lambda I]v_2 = v_1$$

$$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\-1 & -2 \end{pmatrix}v_2 = \begin{pmatrix}-2\\1 \end{pmatrix}$$

La RREF es:

$$\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}v_2 = \begin{pmatrix}-1\\0 \end{pmatrix}$$

Esto produce:

$$a + 2b = -1 \rightarrow b = 0 \rightarrow a = -1$$

A partir de este, el segundo vector propio es $v_2 = (-1, 0)$.