Máquina estándar en la teoría de la medida

Question

Paso 1.Demostrar la propiedad para $h$ que es una función indicadora.
Paso 2.Utilizando la linealidad, extiende la propiedad a todas las funciones positivas simples.
Paso 3. Usando la propiedad Monotone extender la propiedad a todos $hmF^+$ .
Paso 4. Extender la propiedad en cuestión a $hL^1$ escribiendo $h=h^+h^$ y utilizando la linealidad.

Este es un enfoque estándar utilizado para demostrar teoremas en la teoría de la medida y de la probabilidad (Ver Defn. 1.3.6 en http://statweb.stanford.edu/~adembo/nyu-2911/lnotes.pdf ). Lo que siempre me confunde es que a veces el teorema será válido sólo para acotado funciones medibles.

Mi pregunta es: ¿cuándo se puede ampliar la propiedad a todos los $L^1$ funciones, y cuando sólo a funciones medibles acotadas? ¿Qué teoremas están en juego aquí? Creo que el argumento pi-lambda también está involucrado de alguna manera, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Te estás confundiendo porque estás confundiendo la "máquina estándar" con el teorema de la clase monótona. La máquina estándar se utiliza cuando se quiere demostrar que alguna propiedad se mantiene para todos $L^1$ funciones probándolas para los indicadores e invocando la monotonía convergencia teorema. La cuestión es que (al menos en apariencia), hay que demostrar la propiedad en cuestión para los indicadores de conjuntos medibles generales.

Por otro lado, el monótono clase se utiliza para demostrar propiedades para conjuntos generales de funciones (no necesariamente el conjunto de todas las $L^1$ funciones) mostrándolas primero para los indicadores de conjuntos en un generador $\pi$ -clase. La contrapartida es que el conjunto de funciones con el que se trata tiene que ser una clase monótona (de funciones).

Tradicionalmente, este teorema se enuncia sólo para espacios vectoriales de funciones medibles acotadas, pero como señala Dembo en su enlace, no es difícil extenderlo a funciones medibles generales.