Diferencia entre un valor propio y un valor espectral

Question

¿Cuál es la diferencia entre la definición de un valor espectral y la de un valor propio? Mis notas de análisis funcional dice

$\lambda$ es un valor propio de un operador $A$ si $\,\exists \, x \in \mathbb{C^n}$ tal que $$Ax = \lambda x$$ Esto implica $(A - \lambda I)x = 0 \Rightarrow \ker(A - \lambda I) \neq {0}$ . Esto equivale a a decir que $A$ no es inyectiva.

Por otra parte, la definición de un valor espectral es

$\lambda$ se denomina valor espectral de $A$ si $A - \lambda I$ i invertible.

¿Cuál es la diferencia? ¿Cómo es que algunos operadores pueden tener valores espectrales y no valores propios (valores propios $\subset$ spectrum(A)) y, por último, ¿cómo coinciden cuando el espacio es de dimensión finita?

Answer 1

Considere el cambio unilateral en $\ell^2(\mathbb N)$ es decir $$ S(a_1,a_2,\ldots)=(0,a_1,a_2,\ldots). $$ Es fácil comprobar que $S$ es inyectiva, por lo que $0$ no es un valor propio de $S$ . Pero $S$ no es invertible (porque no es suryectiva). Por tanto, tenemos $0$ como elemento del espectro de $S$ pero no un valor propio.

En dimensión finita, ocurren dos cosas: como el dominio y el codominio son de igual dimensión finita, un operador es inyectivo si y sólo si es suryectivo. Y todos los operadores lineales son continuos. Por tanto, si $T-\lambda I$ no es invertible, esto significa que no es biyectiva; entonces no es inyectiva, por lo que tiene un núcleo no nulo, es decir, existe $x$ con $Tx=\lambda x$ . Por lo tanto, en dimensión finita, el espectro consiste únicamente en valores propios.

Answer 2

Cuando adquiera ejemplos, asegúrese de incluir este operador de multiplicación: $$ X = L^{2}_{\mu}(-1,1),\\ (Af)(x) = xf(x). $$ Toma, $\mu$ es una medida finita de Borel o de Lesbesgue sobre $[-1,1]$ . La razón para incluir éste en tu colección de ejemplos es que los operadores limitados autoadjuntos con $\sigma(A) \subseteq [-1,1]$ pueden verse esencialmente como copias de este operador. Si $\mu$ tiene un átomo en $\lambda \in [-1,1]$ (es decir, $\mu\{\lambda\} \ne 0$ ), entonces $\chi_{\{\lambda\}}$ es una función propia de $A$ con $$ A\chi_{\{\lambda\}}=\lambda \chi_{\{\lambda\}} $$ Si $\lambda$ no es un átomo de $\mu$ pero $\lambda$ es en apoyo de $\mu$ entonces $$ \begin{align} \|(A-\lambda I)\chi_{[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]}\|^{2} & = \int_{\lambda-\epsilon}^{\lambda+\epsilon}|\lambda-x|^{2}\,d\mu(x) \\ & \le \epsilon^{2}\|\chi_{[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]}\|^{2} \end{align} $$ En otras palabras, $$ u_{\epsilon}= \frac{1}{\|\chi_{[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]}\|}\chi_{[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon]} $$ es un vector unitario para el que $\|(A-\lambda I)u_{\epsilon}\| \le \epsilon$ . Así que $u_{\epsilon}$ es un vector propio aproximado. Aunque no hay ningún vector propio con valor propio $\lambda$ existe un vector unitario que es casi un vector propio, con cualquier grado de aproximación. En este caso $\lambda \in \sigma(A)$ la inversa de $A-\lambda I$ es ilimitada y sólo está densamente definida.